Задача К1

По заданным уравнениям движения точки в плоскости xy: (табл. К1) требуется найти уравнение траектории и для момента времени t₁ = π/6 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Построить на рисунке все найденные скорости и ускорения в соответствующих масштабах.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = π/6 c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует применить известные из тригонометрии формулы:

При выборе масштабов построения траектории, скоростей и ускорений следует учитывать, что они должны быть стандартными, то есть из ряда: 1, 2, 25, 4, 5. При этом изображаемые вектора должны быть достаточно крупными (50 - 100 мм).

Таблица К1

Последняя цифра шифра	Предпоследняя цифра шифра
	3sin(2t) + 1		2 - 2cos(2t)
	2sin^2(2t) -2		3cos^2(2t)-1
	4sin(2t) - 1		2cos(4t) +2
	3 -4 cos(2t)		3sin(2t) - 1
	4cos^2(2t)-2		2sin^2(2t) + 1
	cos(4t) +1		2sin(2t) - 3
	2sin^2(2t) -1		3 - 2cos(2t)
	2cos(4t) + 1		2cos(4t) +1
	3cos^2(2t)-2		2sin^2(2t)+1
	2+3cos(4t)		2 – 2cos(4t)

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

, (x, y – в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу.

или

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим:

следовательно:

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (рис. К1):

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

и при t = 1c:

3. Аналогично найдем ускорение точки:

.

и при t = 1c: a_x = 0,87 см/с², a_y = - 0,12 см/с², a = 0,88 см/с².

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство: . Получим:

Подставив полученные ранее значения, найдем, что при t = 1c: a_τ = 0,66 см/с².

5. Нормальное ускорение точки: Подставляя сюда найденные числовые значения a₁ и a_1τ, получим, что при t = 1 c: a_n = 0,58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории: Подставляя сюда числовые значения υ ₁ и a _{1 n}, найдем, что при t = 1 c: ρ = 3,05 см.

При построении скоростей следует в данном случае выбрать масштаб:

μ _v = 0,02 , тогда:

l _vx = │v_x │ / μ _v = 1,11/0,02 ≈ 56 мм, l _vy = │v_y │ / μ _v = 0,73/0,02 ≈ 37 мм; или

μ _v = 0,01 , тогда:

l _vx = │v_x │ / μ _v = 1,11/0,01 = 111 мм, l _vy = │v_y │ / μ _v = 0,73/0,01 = 73 мм.

При построении ускорений следует выбрать масштаб:

μ _a = 0,01 , тогда:

l _ax = │ a _x │ / μ _a = 0,87/0,01 = 87 мм, l _ay = │ a _y │ / μ _a = 0,12/0,01 = 12 мм;

l _aτ = │ a_τ │ / μ _a = 0,66/0,01 = 66 мм, l _an = │ a_n │ / μ _a = 0,58/0,01 = 58 мм.

Найденные длины отрезков откладываем из точки с координатами:

при t = 1c:

Замечание: при построении следует учесть, что l _ay необходимо отложить вниз, так как: a_y < 0, а a_τ – по направлению скорости, так как a_τ > 0.

Дата добавления: 2015-07-07