Теорема Лежандра

Пусть мы имеем сферический треугольник ABC на сфере радиуса R₀. Возьмем плоский треугольник A^/ B^/ C^/ с соответственно равными сторонами (рис. 5. 1). Углы этих треугольников, расположенные против соответственно равных сторон, не будут равны соответствующим углам сферического треугольника.

Рис. 5. 1

Применяя теорему косинуса стороны для сферического треугольника АВС, запишем

, (5. 1)

откуда можем выразить

. (5. 2)

Стороны треугольника малы по сравнению с радиусом R₀, поэтому тригонометрические функции малых аргументов разложим в ряд Маклорена, ограничиваясь четвертыми степенями аргументов s / R₀, в результате получим вместо (5. 2)

(5. 3)

Заметим, что наибольший из отброшенных членов разложений в (5. 3) будет . Поставим условие, чтобы он не превосходил величины 5*10^-10, что соответствует точности вычисления углов в 0. 0001^//, тогда получаем предельные длины сторон треугольника, для которого (5. 3) будет обеспечивать требуемую точность £ 5*10^-10, s £ R₀ * 10^-2 (600)^1/5 » 230км. Преобразуем выражение (5. 3) с принятой точностью

Откуда несложно получить после приведения подобных членов

. (5. 4)

Обратимся теперь к плоскому треугольнику на рис. 5. 1. Для него можем записать по теореме косинусов плоской тригонометрии

.

И выражение для sin²A = 1 – cos²A

.

С учетом этого выражение (5. 4) принимает вид

. (5. 5)

Преобразуя разность косинусов в произведение и полагая

,

получим вместо (5. 5) для разности сферического и соответствующего плоского углов выражение

Несложно заметить, что уравнение

выражает площадь треугольника, поэтому для разности любых углов сферического и плоского треугольников справедливы выражения

Поскольку сумма внутренних углов плоского треугольника всегда равна p, можем записать для суммы углов сферического треугольника

(5. 6)

Величина, определяющая в (5. 6) насколько сумма внутренних углов сферического треугольника больше p, носит название сферического избытка и обозначается e. Отсюда следует вывод, что сферический избыток треугольника (как и любого многоугольника на сфере) прямо пропорционален площади и обратно пропорционален квадрату радиуса сферы, что и выражает теорему Лежандра. При этом каждый угол сферического треугольника больше соответствующего угла плоского треугольника на величину одной трети сферического избытка (для n – угольника – больше на величину e / n).

Сферический избыток может достигать в общем случае величины до 2p. Для малых треугольников, которые мы рассматриваем, эта величина малая и ее выражают в секундах, поэтому формула для вычисления сферического избытка имеет вид

(5. 7)

Для вычисления площади Р треугольника можно применять любую формулу. Так для треугольников триангуляции, когда известна только одна сторона удобнее формулы вида

(5. 8)

В трилатерации измерены длины сторон, а углы неизвестны, поэтому здесь более удобно вычислять площадь треугольника по формуле Герона

(5. 9)

Из формулы (5. 7) видно, что наибольший сферический избыток (при заданном порядке длин сторон) будет иметь равносторонний треугольник. Несложно подсчитать, что сферический избыток для различных длин сторон геодезических треугольников не превзойдет следующих величин: при s _км = 5, 10, 20, 30, 60 - e^// = 0. 07, 0. 25, 1. 0, 2. 0, 8. 0 соответственно. Величина f = r^// / 2R² изменяется с широтой очень медленно. Учитывая, что сферический избыток даже в сети 1 класса с длинами сторон до 60 км не превышает 8^//, а точность вычисления углов – 0. 001^//, при его вычислении достаточно удерживать четыре верные значащие цифры. Это значит, что при его вычислении можно пренебречь различием площадей сферического и плоского треугольников, а величину f можно считать постоянной и равной для всей территории Республики Беларусь (f = 2. 530* 10 ^–9 ), если длины сторон выражены в метрах.

Дата добавления: 2015-07-10