Система дифференциальных уравнений геодезической

Линии

На рисунке 4. 5 имеем полярный сфероидический треугольник PTK,

Рис. 4. 5

у которого Р – полюс, T и K – бесконечно близкие друг другу точки, соединенные элементарной дугой геодезической линии dS, проходящей через точку T в азимуте А. Через точку К ( широта которой равна В) проведем параллель, которая пересечет меридиан точки Т в некоторой точке С. Рассмотрим элементарный прямоугольный треугольник ТСК у которого все стороны будут бесконечно малы потому, что гипотенуза dS по условию бесконечно мала. Этот треугольник решаем как плоский прямоугольный, при этом будем иметь в виду, что элементарная дуга меридиана ТС равна M dB, а параллели СК - rdL, где d L – разность долготточек К и Т. РЗ

В результате можем записать.

M dB = dS cos A; r dL = dS sin A, (4. 37)

откуда получаем дифференциальные зависимости

(4. 38)

Обратимся теперь к треугольнику РTК. Не смотря на то, что одна из его сторон T К бесконечно мала, стороны РT и РК могут достигать значительных величин, зависящих от значения широты точки Т. В этом случае мы можем рассматривать его как сферический и решать по формулам сферической тригонометрии. Рассмотрим элементы этого треугольника. Угол при вершине Р равен dL, при вершине T – азимут А, сторона РТ выражается на сфере единичного радиуса как (p / 2 - В). Угол этого треугольника при вершине К можем определить как (p - А – d A), так как азимут геодезической линии в точке К равен (A + dA).

Применяя теорему косинуса угла для решения сферического треугольника РТК, имеем

Применяя формулу для косинуса суммы и разлагая синусы и косинусы бесконечно малых аргументов в ряд и ограничиваясь первыми членами разложений, получим дифференциальное уравнение

,

в котором выражаем dL из второго уравнения (4. 38) в функции dA и запишем систему трех дифференциальных уравнений для геодезической линии эллипсоида в виде

(4. 39)

Дата добавления: 2015-07-10