Анализ условия задачи. Задача напоминает рассмотренную ранее задачу о машине Атвуда

Задача напоминает рассмотренную ранее задачу о машине Атвуда, отличаясь от неё тем, что блок обладает массой. На рис. 16 указаны действующие в системе силы и ось х, на которую мы будем проецировать векторы. Согласно условию ускорение первого тела направлено вниз, а ускорение второго тела – вверх.

Слова «нить не проскальзывает по блоку» означают, что силы трения между блоком и нитью велики, так что нить и обод блока имеют одинаковые линейные скорости (здесь нет противоречия с тем, что силами трения в оси блока мы пренебрегаем).

Решение.

Запишем уравнения второго закона Ньютона для грузиков

, (220)

(221)

и для блока, вращающегося без трения

. (222)

В (222) - момент инерции блока относительно оси вращения, его угловое ускорение и проекция моментов внешних сил на ось вращения.

Используя третий закон Ньютона, примененный к нити, запишем

. (223)

Из нерастяжимости и невесомости нити следует, что смещения грузиков равны по величине и противоположно направлены вдоль вертикальной оси. Дифференцируя эти смещения по времени дважды, находим ускорения

. (224)

Теперь система уравнений движения грузиков принимает вид (нить приводит блок в движение и поэтому силы натяжения «до» блока и «после» него различны):

, (225)

. (226)

Вычтем почленно (226) из (225). Найдем, что

. (227)

Уравнение (222) с учетом (223) и с учетом связи линейного и углового ускорений

(228)

даст

. (229)

Подставив (229) в формулу (227), найдем

. (230)

Отсюда линейное ускорение

, (231)

где учтено, что момент инерции цилиндра массой m равен .

Из (228) теперь следует, что угловое ускорение цилиндра

. (232)

Дата добавления: 2015-11-04