Обсуждение результатов. Если бы масса тела 1 была больше массы тела 2, то тело 2 могло бы подскакивать на опорной

Если бы масса тела 1 была больше массы тела 2, то тело 2 могло бы подскакивать на опорной поверхности, и тогда . Утверждение, что тело 2 всегда покоится, означает, что колебания происходят с не слишком большой амплитудой, так, что всегда .

Момент инерции. Момент силы. Момент импульса.

Теоретическое введение.

1. Абсолютно твердым (или просто «твердым») твердым называется тело, в котором отсутствуют относительные перемещения его отдельных частей.

2. Моментом инерции материальной точки относительно указанной оси ОО₁ называется произведение массы точки на квадрат расстояния до оси,

. (187)

3. Момент инерции теряет смысл, если ось OO₁ не указана.

4. Момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции каждой точки, рассматриваемых относительно одной и той же оси (см. рис. 10).

Если имеется N материальных точек, то полный момент инерции равен

. (188)

5. Момент инерции твердого тела подсчитывается путем интегрирования, смысл которого понятен из рис. 11. Для этого всё тело разбивают на малые участки (материальные точки ), вводят соответствующие расстояния до рассматриваемой оси, а потом интегрируют элементарные моменты инерции.

Элементарный момент инерции выделенного участка тела (см. рис. 11) равен

. (189)

Интегрирование по всему телу даст его полный момент инерции относительно указанной оси:

. (190)

6. Моментом силы относительно неподвижной точки О (см. рис. 12) называется векторное произведение

, (191)

где - радиус–вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы, - проекции вектора момента силы на соответствующие оси.

Численное значение момента силы равно

, (192)

где - угол между векторами. Момент силы или в зависимости от того, по часовой стрелке вращает систему этот момент, или в противоположном направлении.

Длина называется плечом силы относительно точки О.

7. Моментом импульса относительно неподвижной точки О называется векторное произведение

. (193)

Для момента импульса справедлив рисунок 11 и формулы (191) – (192) с заменой силы на импульс .

8. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, плюс произведение массы тела, умноженной на квадрат расстояния а между осями: .

Задача 26.

Сила , имеющая проекции , приложена к точке (4, 5, 6) м. Определить:

1) момент силы относительно начала координат;

2) момент силы относительно оси z;

3) плечо силы d относительно оси z.

Решение.

1. Для определения момента силы воспользуемся определителем (191), который в нашем случае дает

(194)

2. Момент силы относительно оси z или проекция момента (194) на ось z равна скаляру, стоящему при единичном векторе , то есть Нм.

3. Проекцию момента силы на ось z можно записать в виде

, (195)

где знаком «» отмечены величины, перпендикулярные оси z: , . Тогда из (195) следует, что

, (196)

где – угол между векторами и ; – плечо силы относительно оси z, а составляющая силы .

Следовательно, плечо силы относительно оси z равно

м. (197)

Задача 27.

Частица массой г движется с постоянной скоростью км/час в положительном направлении оси х по закону движения . Определить:

1. Момент импульса частицы относительно точки (0, 1, 0) м.

2. Момент импульса частицы относительно оси у.

Дата добавления: 2015-11-04