Анализ условия задачи. Математический маятник – это материальная точка, на невесомой нерастяжимой нити

Математический маятник – это материальная точка, на невесомой нерастяжимой нити, закрепленной около неподвижной точки подвеса, которая может без трения (сопротивления воздуха и сил внутреннего трения при изгибе нити около точки подвеса) совершать малые колебания под действием только силы тяжести. Перечисленные требования необходимы для проведения расчетов. Без их выполнения маятник не может считаться математическим. Мы можем воспользоваться известным соотношением .

Решение.

Рассмотрим движение материальной точки по дуге радиусом с центром в точке О. Сила натяжения нити имеет нулевую проекцию на направление движения и не влияет на это движение. Движение происходит под действием возвращающей силы (в любой момент времени эта сила стремится сместить материальную точку к положению равновесия)

, (174)

где – угол между вертикалью, проходящей через точку О и мгновенным положением нити.

Второй закон Ньютона можно записать для рассматриваемой системы в виде

. (175)

Пройденный из положения равновесия путь . Поскольку длина нити постоянна, при дифференцировании по времени появляется производная только угла отклонения, и после сокращения на массу (175) принимает вид

. (176)

В формуле (176) надо учесть, что мы рассматриваем малые углы отклонения (углы измеряются в радианах). Для малых углов (см. формулу (139))

(177)

и тогда уравнение движения

, (178)

то есть становится уравнением гармонического осциллятора с циклической частотой

. (179)

Следовательно, период колебаний математического маятника равен

. (180)

Дата добавления: 2015-11-04