Обсуждение результатов. Первое, на что следует обратить внимание – подтверждение того

Первое, на что следует обратить внимание – подтверждение того, что положение оси радикально влияет на величину момента инерции.

Второе: сопоставление (202) и (203) является иллюстрацией теоремы Гюйгенса – Штейнера для рассмотренного частного случая.

Задача 29.

Вычислить момент инерции сплошного однородного диска массой и радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей:

1) через центр диска; 2) через край диска.

Анализ условия задачи.

Для решения первой части задачи необходимо воспользоваться соображениями симметрии, которые будут обсуждаться в разделе «решение». Вторая часть задачи может быть решена «в лоб», однако это решение связано с проведением весьма сложных интегрирований; решение намного проще, если воспользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера.

Решение.

Выделим в диске кольцо с внутренним радиусом и внешним радиусом . Радиус r может изменяться в пределах от 0 до R. Центр кольца совпадает с центром диска. Поскольку кольцо очень узкое, его можно «разрезать» и развернуть в прямоугольник, длина которого , а высота равна . Поэтому площадь кольца равна

. (204)

Масса выделенного кольца равна

. (205)

Каждый элемент кольца представляет собой материальную точку, находящуюся на расстоянии r от рассматриваемой оси. В силу этой симметрии можно подсчитать момент инерции всего кольца. Он равен (см. (205))

. (206)

Полный момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска равен интегралу

. (207)

Для решения второй части задачи, воспользовавшись теоремой Гюйгенса-Штейнера, найдем

. (208)

Дата добавления: 2015-11-04