Приложение: Фьючерсные цены и двухфакторная модель возврата к среднему

Двухфакторная модель, представленная уравнениями (5) и (7), была определена в терминах ненаблюдаемой стационарной цены и соотношения текущей и стационарной цены. Выигрыш от удобства обладания товаром не упоминался. Альтернативное представление двухфакторной модели может быть дано в терминах текущей цены и выигрыша от удобства владения товаром. В двухфакторной модели возврата к среднему срочная структура задана следующими уравнениями:

	(A1)
	(A2)
	(A3)

В данном случае срочная структура фьючерсных цен задана выражением:

,

(A4)

где

,

(A5)

и, кроме того, использовано обозначение

.

Заметьте, что при снижении параметра волатильности выгрыша от удобства владения до нуля срочная структура двухфакторной модели сводится к модели случайного блуждания с постоянным выигрышем от удобства владения. Двухфакторная модель, заданная уравнениями (Al)-(A3), была использована в работе Schwartz (1997). Эквивалентная интерпретация в терминах стационарной долгосрочной цены и коэффициента пропорциональности между текущим и стационарным значениями цены была разработана Рамзи Цайном (Ramzi Zein). Конечно, эквивалентность двух формулировок достигается лишь при правильной спецификации коэффициентов волатильности и корреляции в обеих моделях.

ЛИТЕРАТУРА

Baker, M.P., E.S. Mayfield and J. Parsons (1998). "Alternative Models of Uncertain Commodity Prices for Use with Modern Asset Pricing Methods," The Energy Journal 19 (1). This issue.

Bradley, Paul G. (1998). "On the Use of Modern Asset Pricing for Comparing Alternative Royalty Systems for Petroleum Development Projects," The Energy Journal 19 (1). This issue.

Brennan, M.J. (1991). "The Price of Convenience and the Valuation of Commodity Contingent Claims," in D. Lund and B. Oksendal (eds.) Stochastic Models and Option Values, North Holland: Elsevier Science Publishers: 33-71.

Brennan, M.J., and E.S. Schwartz (1985). "Evaluating Natural Resource Investments," Journal of Business 58: 135-157.

Campbell, John, Andrew Lo and A. Craig MacKinlay (1997). The Econometrics of Financial Markets, Princeton, NJ: Princeton University Press.

Cortazar, Gonzalo, and Eduardo S. Schwartz (1994). "The Valuation of Commodity-Contingent Claims," Journal of Derivatives (Summer): 27-39.

Cox, J., J. Ingersoll, and S. Ross (1981). "The Relation between Forward and Futures Prices,"

Journal of Financial Economics 9: 321-346.

Dixit, A.K., and R.S. Pindyck (1994). Investment under Uncertainty, Princeton, NJ: Princeton University Press.

Fama, Eugene F., and Kenneth R. French (1988). "Business Cycles and the Behavior of Metals Prices," The Journal of Finance 43: 1075-1094.

Fama, Eugene F., and Kenneth R. French (1987). "Commodity Futures Prices: Some Evidence on Forecast Power, Premiums, and the Theory of Storage," The Journal of Business 60: 55-73.

Gibson, R.J., and E.S. Schwartz (1990). "Stochastic Convenience Yield and the Pricing of Oil Contingent Claims," Journal of Finance 45(3), July: 959-976.

Gibson, R.J., and E.S. Schwartz (1991). "Valuation of Long-Term Oil-Linked Assets," in D.Lund and B. Oksendal (eds.) Stochastic Models and Option Values, North Holland: Elsevier Science Publishers.

Heath, D., R. Jarrow, and A. Morton (1992). "Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation," Econometrica 60(1): 77-105.

Kemna, Angelien (1993). "Case Studies in Real Options," Financial Management, 22(3), Autumn: 259-270.

Laughton, D.G. (1998a). "The Potential for Use of Modern Asset Pricing Methods for Upstream Petroleum Project Evaluation: Introductory Remarks," The Energy Journal 19(1). This issue.

Laughton, D. G. (1998b). "The Management of Flexibility in the Upstream Petroleum Industry," The Energy Journal 19(1). This issue.

Laugthon, D.G. (1998c). "The Potential for Use of Modern Asset Pricing Methods for Upstream Petroleum Project Evaluation: Concluding Remarks," The Energy Journal 19(1). This issue.

Laughton, David, and Henry Jacoby (1993). "Reversion, Timing Options, and Long-Term Decision Making," Financial Management 22(3), Autumn: 225-240.

Litzenberger, R.H. and N. Rabinowitz (1995). "Backwardation in Oil Futures Markets: Theory and Empirical Evidence," Journal of Finance 50(5), December: 1517-1545.

Lo, Andrew W., and Jiang Wang (1995). "Implementing Option Pricing Models When Asset Returns Are Predictable," The Journal of Finance 1(1), March: 87-129.

McDonald, Robert and Daniel Siegel (1984). "Option Pricing When the Underlying Asset Earns a Below-Equilibrium Rate of Return: a Note," Journal of Finance, March: 261-265.

Paddock, J.L., D.R. Siegal and J.L. Smith (1988). "Option Valuation of Claims on Real Assets: the Case of Offshore Petroleum Leases," Quarterly Journal of Economics 103(August): 479-508.

Pindyck, Robert S. (1994). "Inventories and the short-run dynamics of commodity prices," The Rand Journal of Economics 25(1), Spring: 141-159.

Pindyck, Robert S. and Daniel L. Rubinfeld (1991). Econometric Models and Economic Forecasts, New York, NY: McGraw-Hill.

Ross, Stephen A. (1978). "A Simple Approach to the Valuation of Risky Streams," Journal of Business 51(July): 453-475.

Ross, Stephen A. (1995). "Hedging Long Run Commitments: Exercises in Incomplete Market Pricing," working paper.

Salahor, Gordon (1998). "Implications of Output Price Risk and Operating Leverage for the Evaluation of Petroleum Development Projects, The Energy Journal 19(1). This issue.

Schwartz, Eduardo S. (1997). "The Stochastic Behavior of Commodity Prices: Implications for Valuation and Hedging," Journal of Finance 52(3), July: 923-973.

* © Energy Economics Education Foundation 1998

** Malcolm P. Baker: Harvard Business School, Harvard University, Cambridge, MA, USA.

*** E. Scott Mayfield и John E. Parsons: Charles River Associates, 200 Clarendon Street, T-33, Boston, MA 02116-5092, USA E-mail: [e-mail]

[1] Конечно, исходной основой для оценки волатильности служит предполагаемая ценовая модель. Одной из причин, почему оценки, полученные для интервалов данных разной длины, не совпадают между собой, может оказаться тот факт, что фактические процессы, движущие ценами на рынке, далеки от модели случайного блуждания. Этот вопрос детально обсуждается ниже.

[2] В работе Brennan and Schwartz (1985) в качестве скорректированного на риск ожидаемого темпа роста выступает разница между ставкой процента и «выигрышем от удобства владения» (convenience yield), которые заданы равными, соответственно, 10% и 1%. Мы обсудим такое разложение параметра сдвига в дальнейших разделах данной работы, когда затронем также и вопрос о различии между действительным и скорректированным на риск темпами роста.

[3] В работе (Campbell, Lo and MacKinley, 1997, с.27-80) даётся более подробный обзор теории и фактов, касающихся применимости гипотезы случайного блуждания в случае цен на акции.

[4] Дополнительную информацию о тестировании на «единичный корень» можно найти в учебниках Pindyck and Rubinfeld (1991) и Campbell, Lo and MacKinley (1997). В последней работе на с.64-65 авторы касаются важного вопроса, касающегося некоторых неясностей в интерпретации тестов на «единичный корень» как способа различать случайное блуждание и возврат к среднему.

[5] Необходимо помнить о важном различии между фьючерсными и форвардными контрактами. В случае, когда ставки процента предполагаются заданными, оба вида контрактов идентичны. В противном случае имеется небольшое различие (см. Cox et al. 1981). В данной статье речь идёт прежде всего о фьючерсах, потому что ценовые данные чаще всего доступны именно по фьючерсным, а не по форвардным контрактам.

[6] Если изменить определение переменной на приблизительно эквивалентное, то уравнение (4) можно представить в виде описания приращений логарифма цены, т.е. как случай стохастического процесса Оренштейна-Уленбека (Ohrenstein-Uhlenbeck).

[7] В работе Schwartz (1997) представлена несколько иная версия этой модели. Автором версии, использован­ной здесь, является Рамзи Цайн (Ramzi Zein).

[8] В работах McDonald and Siegel (1984), Brennan (1991), Pindyck (1994) и Litzenberger and Rabinowitz (1995) рассмотрены различные аспекты данной концепции «недостаточной нормы отдачи» или «выигрыша от удобства владения».

[9] См. работу Ross (1978).

[10] Приведённая ниже формула описывается в работе Schwartz (1997) для случая, когда l = 0.

Дата добавления: 2015-11-04