Достаточное условие устойчивости распределенных систем

Положим, что замкнутую распределенную систему со скалярной функцией входа структурно можно представить бесконечной совокупностью независимых контуров.

Пусть передаточная функция по контуру управления (см. рис. 2.1) имеет вид:

, (2.1)

где , - целые аналитические функции.

Характеристическое уравнение по контуру

, . (2.2)

Решая уравнение (2.2), определим свободное движение в каждом контуре. Положим, что решение (2.2) найдено. Свободное движение в каждом контуре системы управления может быть определено из следующего соотношения:

, , (2.3)

где , - корни уравнения (2.2);

, - постоянные числа, определяемые начальными условиями.

Рис. 2.1 Система управления.

В силу того, что контуры системы управления независимы, свободное движение всей системы будет складываться из суммы свободных движений в каждом контуре системы управления, умноженных на соответствующие пространственные моды:

. (2.4)

Будем считать, что система с распределенными параметрами, представленная на рис. 2.1, передаточная функция которой по каждому контуру управления имеет вид (2.1), является устойчивой, если

.

Утверждение 1. Для устойчивости системы с распределенными параметрами, свободное движение которой представляется в виде (2.4.), достаточно, чтобы все корни имели отрицательные действительные части.

Доказательство:

Пусть

,

, (),

где - некоторая конечная область.

Полагая для всех (), ряд (2.4) промажорируем следующим рядом:

(2.5)

так как функция ограничена.

- максимальный по модулю элемент, принадлежащий области .

- минимальный по модулю элемент, принадлежащий спектру при ().

Рассмотрим функцию

.

Для нахождения рассмотрим усеченную функцию .

, (2.6)

где - целые числа, которые могут быть выражены через и коэффициенты .

,

,

.

Представим функцию (2.6) в виде

.

Преобразуя, получим:

.

Найдем предел функции .

(2.7)

Представим в виде:

где , .

Для исследования предела (2.7) определим производные функции и по

,

,

,

Тогда:

Так как , то по правилу Лопиталя

.

При функция равна функции , следовательно, .

Учитывая соотношение (2.5), получим:

,

что и требовалось доказать.

Если на пространственно-инвариантную систему подано векторное входное воздействие, то свободное движение системы, может быть определено из следующего соотношения: где

где - корни характеристического уравнения по контуру;

, () – постоянные числа, определяемые начальными условиями;

- свободное движение по i -му выходу системы.

В этом случае доказательство достаточного условия устойчивости аналогично приведенному выше.

Таким образом, для устойчивости пространственно-инвариантной системы достаточно, чтобы каждый контур был асимптотически устойчив.

Дата добавления: 2015-10-24