Пространственно-усилительное звено

Предположим, что имеется распределенное звено, у которого определены входное воздействие и функция выхода.

Пусть заданы изображения по Лапласу при нулевых начальных условиях входного воздействия и функции выхода , которые связаны соотношением:

, (3.1)

где - заданное число (общий коэффициент усиления);

x, y – пространственные координаты;

- лапласиан;

n ₁ – весовой коэффициент ():

при n ₁=1 ; при .

Передаточную функцию распределенного звена, определяемую отношением к , можно записать следующим образом:

. (3.2)

Распределенное звено, передаточная функция которого может быть представлена в виде (3.2), назовем пространственно-усилительным.

Для определения статических характеристик пространственно-усилительного звена представим входное воздействие в виде ряда Фурье

(3.3)

(где значения функции определяются в соответствии с (1.17)) и определим функцию выхода .

Рис. 3.1. Графики K.

Подставляя (3.3) в (3.1), получим:

. (3.4)

Преобразуя (3.4), придем к следующему результату:

. (3.5)

Коэффициент усиления пространственно-усилительного звена по каждой составляющей ряда входного воздействия имеет вид:

, (3.6)

.

Из (3.6) следует, что рассматриваемое звено обладает свойством пространственной инвариантности.

Представим (3.6) в следующей форме:

, (3.7)

где - дискретная функция . Значения функции зависят не только от , но и от .

Из (3.7) следует, что коэффициент усиления не зависит от x. Таким образом, передаточная функция пространственно-усилительного звена может быть представлена бесконечной совокупностью коэффициентов усиления (3.7). Работать с бесконечным набором функций (3.7) не всегда удобно. Перейдем, как в п.2, от набора функций (3.7) к функциональной зависимости K(G).

Для этого заменим непрерывной функцией G с областью определения

. В этом случае, при изменении G от 0 до ¥, охватятся все дискретные значения .

Выражение (3.7) с учетом выше изложенного материала, может быть записано в виде:

, .

На рис. 3.1 приведены графики изменения статического коэффициента усиления пространственно-усилительного звена (при этом полагалось E₁=1).

Передаточные функции распределенных звеньев, рассмотренные ниже, получены аналогично передаточной функции пространственно-усилительного звена.

Дата добавления: 2015-10-24