Двумерный объект

Имеется объект, уравнение теплопроводности которого можно представить в виде:

, (7.4)

, , ,

где a – заданный коэффициент, - шаг дискретизации по времени, , - шаги дискретизации по координатам x и y, соответственно.

Внешне данный объект можно представить в виде:

Рис. 7.7. Схематическое представление объекта.

Граничные условия, при которых следует решать уравнение (7.1), запишем в виде:

, , , S ₁

, , , S ₂

(7.5)

, , , S ₃

, , , S ₂

где - управляющее воздействие.

Функцией выхода будет температурное поле .

Таблица 7.3

Исходные данные:

Lx	Ly				a
0.9	0.1	0.1	0.02	0.01	0.0001

Решать данное уравнение будем методом конечных разностей, преобразуя, получим:

, (7.6)

Преобразуя, получим:

, (7.7)

.

Дискретизацию объекта по соответствующим координатам будем проводить согласно следующему рисунку:

Рис. 7.8. Дискретизация по пространственным координатам.

В дискретном виде граничные условия примут вид:

, , , S ₁

, , , S ₂

(7.8)

, , , S ₃

, , , S ₂

При этом уравнения (7.7) можно решить численными методами согласно блок-схеме,

представленной ниже.

Рис. 7.9. Блок-схема решения дифференциальных уравнений методом конечных разностей.

В результате моделирования получится трехмерный массив (по x, по y и по t) с данными. При этом мы можем построить графики переходных процессов в любой выбранной точке (см. рис. 7.10).

Рис. 7.10. Представление объекта методом сеток.

График переходного процесса в точке с координатами [ i =4, j =5] имеет вид:

Рис. 7.11. График переходного процесса функции T [ i =4, j =5, t].

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

Количество шагов дискретизации по координате распределения входного воздействия должно быть не менее 12-ти! Количество МОД входного воздействия выбрать не менее 5-ти.

№ зад.	Граничные условия	Параметры объекта
S 1	S 2	S 3	R1 [м]	XL [м]	RД [м]
	T			0.15	0.3	0.1 R1
	q			0.2	0.5	0.2 R1
	q			0.22	0.4	0.3 R1
	q			0.12	0.6	0.4 R1
	T			0.3	0.45	0.5 R1
	T			0.15	0.2	0.4 R1
	q			0.2	0.1	0.3 R1
	q			0.15	0.6	0.2 R1
	T			0.2	0.7	0.1 R1
	q			0.22	0.8	0.2 R1
	T			0.15	0.9	0.3 R1
№ зад.	Граничные условия	Параметры объекта
S 1	S 2	S 3	R1 [м]	XL [м]	RД [м]
	q			0.2	0.75	0.4 R1
	T			0.22	0.25	0.5 R1
	q			0.12	0.35	0.6 R1
	q			0.3	0.45	0.7 R1
	q			0.12	0.55	0.1 R1

Рис. 7.12.Объект управления.

R ₁ – радиус, на котором распределено входное воздействие;

R _Д – радиус расположения датчиков;

S ₁ – область распределения входного воздействия; S ₂, S ₃ – границы.

№ зад.	Параметры объекта
S 1	S 2	S 3	S 4	Lx [м]	Ly [м]	LД [м]
	Т				0.1	0.2	0.3 Ly
	q				0.2	0.25
	Т				0.3	0.3
	q				0.5	0.2
	q				0.6	0.25
	Т				0.7	0.3
	q				0.8	0.35
	Т				0.9	0.32
	Т				1.0	0.2
	q				1.1	0.25
	Т				1.2	0.3
	Т				1.3	0.35
	q				1.4	0.2
	Т				1.5	0.25
	q				1.6	0.3
	Т				1.7	0.35

Рис. 7.13.Объект управления.

Входное воздействие на распределенный объект выбирается с учетом заданных граничных условий и представляется в виде ряда Фурье по пространственной координате.

Приведенные обозначения в таблицах:

q – обозначает тепловой поток, Т – обозначает температуру;

0 – обозначает, что граница имеет постоянную температуру равную 0;

1 – обозначает, что граница теплоизолированная.

Дата добавления: 2015-10-24