Описание распределенных объектов дифференциальными уравнениями

Рассмотрим объект с распределенными параметрами, описываемый системой линейных дифференциальных уравнений в частных производных:

(1.1)

,

где фазовые переменные ;

пространственные координаты;

время;

пространство изменения переменных

заданные целые числа;

линейные операторы.

Граничные условия для системы уравнений (1.1) полагаются однородными и заданы в виде:

, ,

,

,

где линейные операторы;

- граничные подобласти пространства ;

заданные числа;

фиксированные значения координаты

входные воздействия.

Функциями выхода объекта являются значения фазовых переменных при фиксированных значениях .

Пример. Математическая модель тепловых полей многослойной пластины.

Рис. 1.1. Многослойная пластина.

Математическая модель распространения тепла в многослойной пластине (см. рис.1.1.) может быть представлена в виде:

,

где температура в поле в м слое пластины;

заданные числа;

пространственные координаты; - время.

На границах соприкосновения слоев выполняются условия равенства температур и тепловых потоков:

,

.

На боковой поверхности многослойной пластины (см. рис. 1.1) имеют место условия:

,

,

где боковые поверхности пластины (см. рис. 1.1).

Входное воздействие распределено в -м слое пластины ( фиксированное число ) и может быть задано в виде:

где - фиксированное значение z, .

Функцией выхода является значение температурного поля , где , - фиксированное значение параметра i и координаты z соответственно.

В большинстве практических задач управляющее воздействие распределено по граничной области. Однако встречаются задачи, в которых управляющее воздействие распределяется в подпространстве , т.е. может входить в правую часть уравнения (1.1).

Дата добавления: 2015-10-24