Читайте также: |
|
1.Если многоугольник правильный(φ), то вокруг него можно описать окружность(ψ).
2.Данный многоугольник правильный(φ). {1 и 2 это посылки}
3.Вокруг данного многоугольника можно описать окружность.
правила отделения или правило заключения ПО
1. φ→ψ Посылки
2. φ – И Вывод
3. ψ – φ Заключение
Рассмотрим 2 предложение (1) φ→ψ, далее утверждена посылка φ и получаем заключение ψ.
Переход от исходных данных к заключению называется выводом.
1) Правило отделения: (ПО)
Р1→Р2 <=> Р2→Р1 1 2 |
φ, φ→ψ (ПО)
ψ
2) Правило расширенной контрапозиции: (ПРК)
φ→ψ
ψ – Л
φ – Л
Пример:
если a = b, то ∟α = ∟β, т.е. p→q
p q
если ∟α ≠ ∟β, то a ≠ b, т.е. q ≠ p
эти посылки, утверждения равносильны.
3) Правило силлогизма: (ПС)
p→q φ1
q→r φ2
p→r φ
учитывая отношение равносильности (p→q) & (q→r) <=> p→r
φ1 φ2 φ
φ – сложное заключение.
& Пусть 1 φ1 – И
2 φ2 – И Посылки
φ1&φ2
φ1
φ2 (ВК)
φ1&φ2
Пример:
пусть φ1 ↔ (a<x), φ2 ↔ (x<b),
|=>φ1& φ2 = (a<x)&(x<b) = a<x<b,
4) УК (удаление конъюнкции) (УК)
φ1&φ2
φ1φ2
Правило УК позволяет от конъюнкции перейти к отдельным утверждениям. Если имеется n посылок, то можно пойти &(i=1,n)φi и по правилу УК из &(i=1,n)φi можно получить отдельные значения φi.
v Пусть нам задана функция знаем, что она истина, и знаем, что от дизъюнкции φ1 с И или Л от этого смысл исходного утверждения не изменится.
φ1
φ1Vφ2 – введение дизъюнкции (ВД)
Пример:
φ1(a>0)
(a>0)V(a=0), т.е. φ1 V φ2
a≥0.
φ1
φ1Vφ2Vφ3V… Vφn (ВД)
добавить
φ1Vφ2
φ2 удаление дизъюнкции (УД)
φ1
Для удаления дизъюнкции, хотя бы одна посылка должна быть ложной.
Пример:
a≥0 φ1Vφ2
a≠0 – отрицательное φ2
a>0 φ1
~ p~q <=> (p→q) & (p←q), т.е. φ1&φ2
φ1 φ2
(φ←ψ)
(φ~ψ) – введение эквиваленции (ВЭ)
Пример:
рассмотрим ∆ из ПВК
1. если a = b, то α = β
φ ψ
2. если α = β, то a = b
∆ равнобедренный φ~ψ
φ~ψ
φ→ψ
ψ→φ – удаление эквивалентности (УЭ)
в доказательствах часто применяются методы индукции, дедукции.
Дедукция – этот метод позволяет осуществить переход от общего к частному, индукция – наоборот.
В дедукции рассуждение имеет место теорема дедукции.
Пусть имеется n посылок φ1, φ2, φ3, … φn из них выводится некоторое утверждение φ. Тот факт, что φ1, φ2 … φn истина, то φ – истина.
Теорема дедукции.
φ1, φ2, … φn |– φ
Если утверждение φ можно получить из n посылок, то
φ1, φ2, … φn–1 |– (φn→φ)
Доказательство по методу от противного.
Предположим, что после союза то утверждение |– (φn→φ) – ложное, т.е.
φ1, φ2, … φn–1 |– (φn φ) => φn→φ <=> Л, но это возможно значет это не удовлетворяет условию φ1, φ2, … φn |– φ
При применении теоремы дедукции разрешается проверить посылку.
После 1 применения теоремы дедукции условие будет выглядеть следующим образом:
φ1, φ2, … φn–2 |– [φn-1→(φn→φ)]
После n применения теоремы дедукции условие будет иметь следующий вид:
φ1 |– {φ2→[φ3→…→(φn→φ))))))...]
Пример:
1. если 2 плоскости параллельны, то они не имеют общей точки.
p r
2. если 2 плоскости пересекаются, то они имеют общую прямую.
q s
3. но 2 плоскости параллельны или пересекаются.
p q
Вывод: две плоскости не имеют общей точки или имеют общую прямую.
r s
1. p→r φ1
2. q→s φ2
3. pVq φ3
r V s φ
Если мы на основании посылок докажем их истинность, то докажем их.
p→r q→s pVq r V s (1)
φ1 φ2 φ3 φ4
с использованием вспомогательной формулы равносильности rvs <=> r→s мы можем подставить в (1) получим.
p→r q→s pVq |– (r→s) (2)
φ1 φ2 φ3 φ4 φ`
по теореме дедукции
p→r q→s pVq r |– s
φ1 φ2 φ3 φ4 φ`
доказательство:
1 p→r φ1
2 q→s φ2
3 pVq φ3 ←посылки
4 r φ4
5 p {ПРК:1,4}
6 q {УД:3,5}
7 s {ПО:2,6}
Дата добавления: 2015-09-01; просмотров: 67 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Интерпретация алгебры логики в теории конечных автоматов. | | | Методы доказательств. |