Р- сумма капитала, предоставляемого в кредит (сумма вклада, величина инвестиций);

n- срок ссуды в годах.

При необходимости решить обратную задачу, исходя из (1.1), зная величину процентной ставки, можно определить величину дохода по следующей формуле:

I = P * n * i ( 1.2)

I = P * n * i / 100 (1.3)

В формуле (1.3) процентная ставка выражена не десятичной дробью, а в процентах.

Следует отметить, что в инвестиционных расчетах процентная ставка применяется не только как инструмент наращивания стоимости денежных средств, но и в более широком смысле - как измеритель степени доходности инвестиционных операций.

При проведении финансово- экономических расчетов, связанных с инвестированием средств, процессы наращивания и дисконтирования стоимости могут осуществляться как по простым, так и по сложным процентам. Простые проценты применяются, как правило, при краткосрочном инвестировании, а сложные – при долгосрочном.

Простым процентом называется сумма, которая начисляется по первоначальной (настоящей) стоимости вклада в конце одного периода платежа, обусловленного условиями инвестирования средств (месяц, квартал, год и т.п.). По условиям кредитного контракта процентные деньги могут выплачиваться кредитору или по мере их начисления в каждом периоде, или совместно с основной суммой долга по истечении срока контракта. В последнем случае сумма, полученная кредитором, называется процентной суммой. Таким образом, наращенная сумма есть результат сложения суммы, предоставленной в кредит и процентных денег.

Расчет наращенной суммы с использованием простых процентов производится по формуле:

S = P + I = P + P * n * i = P (1 + n * i) (1.4)

где: S – наращенная сумма;

Пример 1.

Фирма приобрела в банке вексель, по которому через год должна получить 30,0 тыс. руб. (номинальная стоимость векселя). В момент приобретения цена векселя составила 20,0 тыс. руб. Определить доходность этой сделки, т.е. размер процентной ставки.

Решение:

По условию задачи: первоначальная сумма капитала, предоставляемого в кредит Р = 20,0 тыс. руб. Номинальная стоимость векселя, т.е. сумма, которую получит владелец капитала (инвестор) через год S = 30,0 тыс. руб., доход инвестора I = 30,0 - 20,0 = 10,0 тыс. руб. Отсюда i = 10 / 20 = 0,5 (50%).

Выражение (1 + n * i) в формуле (1.4) называется множителем наращивания простых процентов. При использовании простых процентов, когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, периоды исчисления процентов выражают дробным числом n = t / k, где t – число дней, на которое предоставлен кредит; k - временная база (число дней в году, равная 365 или 360 дней). Различие в продолжительности года вызвано тем, что в ряде стран для удобства вычислений год делится на 12 месяцев по 30 дней в каждом, т.е. продолжительность года (k) принимается равным 360 дням. Это так называемая «германская практика». В англоязычных странах в банковских расчетах продолжительность года принимается календарная, т.е. 365 дней, а число дней в месяце соответствует календарю.

Пример 2.

Банк выдал своему клиенту ссуду в размере 20,0 тыс. руб. сроком на полгода по ставке простых процентов, равной 80% годовых. Определить проценты и сумму накопленного долга (наращенную сумму).

Решение:

По условию: Р = 20,0 тыс. руб.; i = 0,8; n = 0,5 года.

I = 20 * 0,5 * 0,8 = 8 тыс. руб; S = 20 + 8 = 28 тыс. руб.

или с использованием формулы (1.4) S = 20 (1 + 0,5 * 0,8) = 28 тыс. руб.

При заключении кредитного соглашения может быть установлена постоянная на весь период или изменяющаяся (переменная) процентная ставка. При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется по формуле:

m

S = P * (1 + n₁ * i ₁ + n₂ * i ₂ + … n_t * i _t) = P * (1 + ∑ n_t * i _t) (1.5)

где:

i – ставка простых процентов в период t;

n_t - продолжительность начисления ставки i _t;

m – число периодов начисления процентов.

Наряду с рассмотренным методом начисления по простой процентной ставке используется метод начисления по сложной процентной ставке. Суть метода заключается в том, что на наращенные в предыдущем периоде суммы вновь начисляются проценты, т.е. происходит многоразовое наращивание. Подобный процесс называют капитализацией процентного дохода. С учетом вышеизложенного, можно дать следующее определение сложного процента. Сложным процессом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования, при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается после каждого периода, а присоединяется к сумме первоначальных инвестиций и в последующем платежном периоде сама приносит доход. Наращенная сумма за n лет определяется по формуле:

Sn = P * (1 + i) ⁿ (1.6)

Из формулы (1.6) следует, что наращиваемая сумма за весь период может быть получена как сумма членов геометрической прогрессии, первый член которой равен - Р, а знаменатель прогрессии – (1 + i).

При этом величину (1 + i) ⁿ называют множителем наращивания сложных процентов.

Пример 3

Инвестор получил кредит в банке в сумме 150,0 тыс. руб. сроком на три года под 20 % годовых (сложные проценты). Определить сумму погашения долга в конце срока.

Решение: S = 150 * (1 + 0,2)³ = 259,2 тыс. руб.

Зачастую банки, предоставляя долгосрочные кредиты, используют изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:

S = P * (1 + i₁) ⁿ¹ * (1 + i₂) ⁿ² *… * (1 + i ₁₂) ^nk (1.7)

где:

i₁, i₂,…, i₁₂ – последовательные значения ставок процентов;

ⁿ¹, ⁿ²,…, ^nk – периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты. Различия между ними обусловлены сроками сделок. Так, при равной величине простых и сложных процентных ставок

(i_п = i _c) при сроке ссуды менее 1 года (n < 1) наращенная сумма, вычисленная по простым процентам, будет наращенной суммы, вычисленной по сложным процентам, ибо:

(1 + n * i _п) > (1 + i_c) ⁿ

где: i _п и i_c – ставки простых и сложных процентов.

При сроке сделки больше года (n > 1) наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам, т.к.:

(1 + n * i _п) < (1 + i_c) ⁿ

В cлучае, когда срок финансовой сделки выражен дробным числом, начисление процентов может выполняться двумя методами:

а) по формуле сложных процентов:

S = P * (1 + i) ^a+b (1.8)

б) смешанным методом:

S = P * (1 + i)^a * (1 + b * i) (1.9)

где:

n = а + b – период сделки; а- целое число лет; b – дробная часть года.

Дата добавления: 2015-08-27