Номинальная и эффективная ставки процентов

В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов несколько раз в году – по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. Однако на практике, в большинстве случаев, указывается не квартальная или месячная процентная ставка, а годовая ставка, которая называется номинальной. Кроме того, указывается число периодов m начисления процентов в году. Тогда для начисления процентов m раз в году используется формула:

S = P * (1 + j/m)^N (1.10)

где:

j – номинальная годовая процентная ставка;

m- число периодов начисления процентов в году;

N – число периодов начисления процентов за весь срок контракта;

N = n * m, где n – число лет.

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена или по общей формуле, используемой при начислении сложных процентов, или по смешанному методу. В последнем случае наращенная сумма определяется по формуле:

S = P * (1 + j/m)^ml * (1 + а * j/m) (1.11)

где:

ml – число полных периодов начисления процентов;

а- дробная часть одного периода начисления процентов.

Эффективная ставка при начислении сложных процентов m раз в году.

Эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получит кредитор в целом за год. Для инвестора это реальная величина относительных расходов за использование полученного в кредит капитала.

Иначе говоря, эффективная ставка отвечает на вопрос: какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m- разовом начислении процентов в году по ставке j/m.

Если обозначить эффективную ставку как i_c, то ее величину можно определить по формуле:

i_c = (1 + j/m)^m – 1 (1.12)

т.е. эффективная процентная ставка больше номинальной.

Из этого же выражения следует, что:

J = m * ((1 + i_c)^1/m – 1) (1.13)

Непрерывное начисление процентов.

На практике возможны случаи, когда проценты начисляются непрерывно. Тогда наращенная сумма, при непрерывном начислении процентов по ставке j, равна:

S = P * e ^j*n (1.14)

где е – основание натурального логарифма (е = 2,71828).

Задания по определнию будущей стоимости денег.

Задача 1

Банк предлагает своему клиенту- заемщику следующие условия предоставления кредита: первое полугодие - 80% годовых, каждый следующий квартал ставка возрастает на 8%. Проценты начисляются только на первоначальную сумму предоставленного кредита (простые проценты).

Определить наращенную сумму долга за год, если банк предоставил кредит на сумму 50 тыс. руб.

Задача 2

Строительная фирма получила кредит в банке в сумме 100 тыс. руб. сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 10,5% для первого года, для второго предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5%, для третьего года и последующих лет - в размере 0,75% (сложные проценты).

Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа.

Задача 3

Инвестор получил кредит в банке в размере 250 тыс. руб. со сроком погашения через 2 года и 9 месяцев (2 года и 270 дней), под 9,5 % годовых.

Определить полученную им сумму при использовании банком сложных процентов и смешанного метода. При расчете считать продолжительность года k = 360 дней.

Задача 4

Получен кредит в размере 150 млн. руб. сроком на 2 года, под 15% годовых; начисление процентов производится ежеквартально.

Определить наращенную сумму, подлежащую вопросу.

Задача 5

Получен кредит в размере 150 млн. руб. сроком на 2 года, под 15% годовых; начисление процентов производится ежемесячно.

Определить наращенную сумму, подлежащую вопросу.

Задача 6

На сумму 60 млн. руб. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев.

Определить величину наращенной суммы двумя методами:

1. по общей формуле, используемой при начислении сложных процентов.

2. По смешанному методу.

Задача 7

Определить эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j = 18% при ежеквартальном начислении процентов.

Задача 8

Определить наращенную сумму кредита, полученного в размере 40 тыс. руб. по ставке 19,25% годовых (сложные проценты) на срок 2 года. Результаты расчета сравнить с условием получения кредита в размере 40 тыс. руб. сроком на 2 года под 18% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Задача 9

Получен кредит в размере 100 тыс. руб. сроком на 3 года под 8% годовых.

Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

б) ежедневно;

в) непрерывно

Приведенная (дисконтированная) стоимость.

Настоящая стоимость денег представляет собой сумму будущих денежных поступлений, приведенных с учетом определенной ставки процента (так называемой «дисконтной ставки») к настоящему периоду. Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования этой стоимости, который представляет собой операцию, обратную наращиванию при обусловленном конечном размере денежных средств. В этом случае сумма процента (дисконта) вычитается из конечной суммы (будущей стоимости) денежных средств. Такая ситуация возникает в тех случаях, когда необходимо определить сколько средств необходимо инвестировать сегодня для того, чтобы через определенный период времени получить заранее обусловленную их сумму. С помощью дисконтирования в финансовых вычислениях учитывается фактор времени и решается задача, определению наращенной суммы. Сформулируем ее следующим образом: какую сумму Р необходимо положить в банк или инвестировать другим способом на n лет, чтобы при начислении на нее процентов по ставке i получить наращенную сумму, равную S. Для решения этой задачи используются формулы (1.4) или (1.6), тогда:

P = S / (1 + n * i) (1.15)

или

P = S / (1 +i) ⁿ (1.16)

где 1 / (1 + n * i) и 1 / (1 +i) ⁿ – дисконтные множители, показывающие, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращиваемой.

При начислении процентов m раз в году значение приведенной величины P определяется по формуле:

P = S * (1 +j/m) ^–mn (1.17)

Современная величина при непрерывном наращивании процентов равна:

Р = S / е ^j*n (1.18)

Пример 4

Через один год владелец векселя, выданного коммерческим банком, должен получить по нему 10 тыс. руб. Какая сумма была внесена в банк в момент приобретения векселя, если доходность векселя должна составить 25,0% годовых.

Решение:

По формуле (1.15) получим Р = 10 / (1 + 1 * 0,25) = 8,0 тыс. руб.

Задания по определению настоящей стоимости денег.

Задача 1

Через один год владелец векселя, выданного коммерческим банком, должен получить по нему 18 тыс. руб.

Какая сумма была была внесена в банк во время приобретения векселя, если доходность векселя должна составить 15,7% годовых.

Задача 2

Определить современную величину 20,0 тыс. руб., которые должны быть выплачены через 4 года. В течении этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по ставке 20% годовых.

Задача 3

Определить какую сумму необходимо поместить на депозит, чтобы через три года владелец депозита получил 15 тыс. руб. Применяемые процентные ставки:

а) 20% годовых;

б) 30% годовых.

Контрольные вопросы по лабораторной работе №1

«Оценка стоимости денег во времени».

1. Сформулируйте понятие «будущая стоимость денег».

2. Что называется простым процентом?

3. Что называется сложным процентом?

4. В каком случае наращенная сумма по простым и сложным процентам будет одинаковой?

5. Что представляют собой номинальная и эффективная ставки процентов?

6. Сформулируйте понятие «настоящая стоимость денег».

7. Что представляет собой дисконтный множитель? (записать формулу)

Задания по определению будущей стоимости денег

Варианты значений к задаче №1

Обозначение

Сумма кредита, тыс.руб.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

XX

Р

Обозначение	Сумма кредита, тыс.руб.
XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
Р

Варианты значений к задаче №2

Обозначение

Сумма кредита, тыс.руб.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

Р

Обозначение	Сумма кредита, тыс.руб.
XX	XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
Р

Варианты значений к задаче №3

Обозначение

Сумма кредита, тыс.руб.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

Р

Обозначение	Сумма кредита, тыс.руб.
XX	XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
Р

Варианты значений к задаче №4

Обозначение

Сумма кредита, млн.руб.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

Р

Обозначение	Сумма кредита, млн.руб.
XX	XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
Р

Варианты значений к задаче №5

Обозначение

Сумма кредита, млн.руб.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

Р

Обозначение	Сумма кредита, млн.руб.
XX	XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
Р

Варианты значений к задаче №6

Обозначение

Сумма капитала, предоставляемого в кредит, млн.руб.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

Р

Обозначение	Сумма капитала, предоставляемого в кредит, млн.руб.
XX	XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
Р

Варианты значений к задаче №7

Обозначение

Номинальная ставка, %.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

j

10.5

11.5

12.5

13.5

14.5

15.5

16.5

17.5

18.5

Обозначение	Номинальная ставка, %.
XX	XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
j	19.5		20.5		21.5		22.5		23.5		24.5

Варианты значений к задаче №8

Обозначение

Сумма кредита, тыс.руб.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

XX

Р

Обозначение	Сумма кредита, тыс.руб.
XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
Р

Варианты значений к задаче №9

Обозначение

Сумма кредита, тыс.руб.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

Р

Обозначение	Сумма кредита, тыс.руб.
XX	XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
Р

Задания по определению настоящей стоимости денег

Варианты значений к задаче №1

Обозначение

Наращенная сумма, тыс.руб.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

XX

S

Обозначение	Наращенная сумма, тыс.руб.
XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
S

Варианты значений к задаче №2

Обозначение

Наращенная сумма, тыс.руб.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

XX

S

Обозначение	Наращенная сумма, тыс.руб.
XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
S

Варианты значений к задаче №3

Обозначение

Наращенная сумма, тыс.руб.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

XX

S

Обозначение	Наращенная сумма, тыс.руб.
XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
S

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное Агентство по образованию

Дата добавления: 2015-08-27