Динамика продольного возмущенного движения ВС 1 страница

В разделе 4 получены формулы (4,5), описывающие продольное возмущенное движение. Принимается β=γ_a=0, m(t)=const, изменение аэродинамических сил по высоте мало,

, , ;

пренебрегается изменением по высоте ρ(H), p(H), a(H), полагая момент тангажа сбалансированным в опорном движении . Для упрощений уравнений возмущенного движения целесообразно перейти от производных сил к производным перегрузок, учитывая что

nya= (P sin(α+φ_p)+Ya); nxa= (P cos(α+φ_p)-Xa);

при (γa=0, β=0): nya=nyk; nxa=nxk; M= ; .

Проделаем преобразования на примере первого уравнения и уравнения для описания опорного движения . Уравнение в отклонениях от опорного (возмущенного) запишем в виде (принимая во внимание: )

Проделав аналогичные преобразования можно уравнения (4.5) представить в матричной форме.

, (5.1)

где

; ; ; ; ; (5.2)

a₁₁ = g n_xk^V = n_xk^M M; a₂₁ = (n_yk^M M – n_yk + cos θ); a₁₂ = g(n_xk^θ – cos θ)=g(-n_xk^α – cos θ);

a₂₂ = (n_yk^θ + sin θ) = (-n_yk^α + sin θ); a₁₄ = = g n_xk^α; a₂₄ = = n_yk^α;

D_z = ; a₃₁ = (2m_z + 2m_pz1 + m_z^M M + m_pz1^MM); a₃₂ = D_z m_z^θ; a₃₃ = D_z m_z^ωz;

a₃₄ = D_z ; a₅₁ = sin θ; a₅₂ = V cos θ; a₆₁ = cos θ; a₆₂ = -V sin θ; b₁₁ = g ;

b₂₁ = ; b₃₁ = D_z ; b₂₂ = n_yk^δв; b₃₂ = D_z m_z^δв.

В системе (5.1) параметры ΔH и ΔL не входят в правые части четырех первых уравнений и нe влияют на изменение соответствующих фазовых переменных, поэтому могут рассматриваться независимо от двух последних.

5.1. Собственное продольное возмущенное движение ВС. Условия устойчивости опорного движения

В опорном режиме полета управление u˚(t) = (P˚(t), δ_b˚(t)) задано и изменение Рассмотрим уравнения продольного собственного возмущенного движения (см. (5.1), без включения строк и столбцов, соответствующих ΔH и ΔL).

(5.3)

Характеристический многочлен

|A - λE| = |λE - A| = 0, (5.4)

или

.

Раскрывая определитель по последней строке, получаем:

λ⁴ + a₃ λ³ + a₂ λ² + a₁ λ + a₀ = 0, (5.5)

где: a₃ = -a₁₁ – a₂₂ – a₃₃; a₂ = a₁₁ a₂₂ + a₂₂ a₃₃ + a₁₁ a₃₃ – a₂₁ a₁₂ + a₃₄;

a₁ = - a₁₁ a₃₄ – a₂₂ a₃₄ + a₃₁ a₁₄ + a₃₂ a₂₄;

a₀ = a₁₁ a₂₂ a₃₄ + a₂₁ a₃₂ a₁₄ + a₃₁ a₁₂ a₂₄ – a₃₁ a₁₄ a₂₂ – a₂₁ a₁₂ a₃₄ – a₁₁ a₃₂ a₂₄.

Для асимптотической устойчивости в соответствии с условиями Рауса – Гурвица должно соблюдаться:

a₀>0; a₁>0; a₂>0; a₃>0; R = a₁ a₂ a₃ – a₁² – a₀ a₃²>0.

Возмущенное движение в целом по всему вектору Δy = (ΔV, Δθ, Δω_z, Δ , ΔH, ΔL) можно проанализировать по уравнениям для ΔH и ΔL, т.е. пусть = V Δθ; = ΔV. Интегрированием этих уравнений получаем:

ΔH(t) = V ; (ΔH₀≠0)

ΔL(t) = ; (ΔL₀≠0)

Откуда видно, что если ВС асимптотически устойчиво по Δθ(t) и ΔV(t), т.е. при t→∞ Δθ(t)→0, ΔV(t)→0, то при этих условиях ΔH(t)→ΔH₀ и ΔL(t)→ΔL₀ и движение не будет асимтотически устойчивым, но может быть просто устойчивым по Ляпунову при малых ΔH₀ и ΔL₀.

5.2 Выделение быстрой и медленной составляющих продольного возмущенного движения

Исследования решений уравнения (5.5) показывают, что для большинства ВС имеются два больших λ₁₂ = ξ₁±iη₁ и два маленьких λ₁₂ = ξ₁±iη_2. Причем одна пара корней |λ_1,2|>>|λ_3,4| и отличается в десятки раз. Движение с большими |λ_1,2| будет быстро затухающим (чаще всего колебательным) и называется короткопериодическим, а с малыми |λ_3,4 | - длиннопериодическим или медленным. Быстро изменяются: Δα(t), Δω_z(t), Δ (t). Медленно изменяются: ΔV(t), Δθ(t). При исследовании быстроизменяющихся параметров можно принять ΔV≈0, т.е. изменение скорости не успевает произойти V = V˚ = const, а при изучении ΔV(t), Δθ(t) можно считать, что быстрое изменение Δα(t), Δω_z(t) и Δ (t) закончилось и принять α, ω_z и равными балансировочным значениям:

α = α_бал, ω_z = 0, = α_бал + θ = const. (β = γ_a = 0).

5.2.1. Собственное продольное короткопериодическое возмущенное движение ВС. Условия устойчивости опорного движения.

Рассмотрим часть уравнений (5.1) для Δθ, Δω_z и Δ , полагая, что за время быстрого вращательного движения скорость не успевает измениться существенно, т.е. ΔV = 0

= a₂₂ Δθ + a₂₄ Δ ;

= a₃₂ Δθ + a₃₃Δω_z + a₃₄ Δ ; (5.6)

Δ ْ = Δω_z;

Δθ = Δ – Δα;

= Δω_z - ;

Δω_z = + .

Из первого:

= (- + sinθ) (Δ – Δα) + Δ = (sin θ Δθ + Δα).

Примем за исходный опорный режим полета – горизонтальный и sin θ = 0. В результате получаем:

= α; (5.7)

= Δω_z – Δα. (5.8)

Второе уравнение в системе (5.6) удобнее представить в другой форме (не в форме Коши; см. 3. системы (4.5)).

,

или

, (5.9)

где

; ; ; .

Дифференцируя (5.8), после подстановки (5.9) и приведения подобных членов, получаем:

+ 2 h_k + ω_k² = 0, (5.10)

где

; (5.11)

= -( + ) = -D_z ( + (1+ )) = -D_z ; (5.12)

n_yk = (С_p (α+φ_p) + С_ya); = (С_p + ) = (1 + ); .

τ = (масштаб времени); μ = (относительная плотность ВС), ;

Нетрудно проверить, что характеристическое уравнение для (5.10) имеет вид:

λ² + 2h_kλ + = 0. (5.13)

Условия устойчивости (здесь: a₀ = , a₁ = 2h_k) c помощью матрицы Гурвица

: a₀ = >0 и a₁ = 2h_k>0. Условие >0 эквивалентно (см. (5.12)) (при D_z>0, >0), σ_n = + (1 + )<0 и является критерием асимптотической апериодической устойчивости. Условие 2h_k>0 эквивалентно <0; <0; >0; С_p>0 и является критерием колебательной асимптотической устойчивости.

Апериодическая неустойчивость возможна при: σ_n>0, ω_k²<0. Колебательная неустойчивость возможна при: >0, 2h_k<0. Соответственно = 0 и 2h_k = 0 являются условиями граничных значений апериодической и колебательной асимптотической устойчивости по углу атаки в опорном режиме горизонтального полета. При этом асимптотической устойчивости по и θ не будет, т.к. с учетом (5.7), (5.6):

Δθ(t) = ;

Δ (t) = Δα(t) + ;

при Δα(t)→0; Δθ(t)→Δθ₀; Δυ(t)→Δθ₀, но устойчивость неасимптотическая (по Ляпунову) возможна.

Корни характеристического уравнения:

λ_1,2 = -h_k± (5.14)

при >h_k² и >0,будут комплексными сопряженными, а собственное возмущенное движение – колебательное

λ_1,2 = -h_k± i . (5.15)

Решение (5.10) имеет вид

Δα = Ae sin ( + ψ), (5.16)

где h_k – коэффициент демпфирования (декремент затухания);

= – круговая частота собственных колебаний (демпфированных колебаний), иногда обозначается ω; ω_k – опорная частота или частота недемпфированных колебаний;

ψ – фазовый угол сдвига. Постоянные А и ψ определяются по заданным начальным условиям: например, при t = t₀=0; Δα=Δα₀ и =

Если ≥ >0, то корни (5.14) будут действительными и собственное возмущенное движение будет апериодическим

Δα=c₁ e^λ1t + c₂ e^λ2t,

а при = >0; λ₁ = λ₂ = λ

Δα(t) = (c₁ + c₂₎ e^λt.

Постоянные c₁ и c₂ находятся из начальных условий. Определим теперь Δω_z(t). Для этой цели из (5.6) и (5.7) с учетом (5.16), получим

Δω_z = = Δα + = A [ ( – h_k) sin ( + ψ) + cos ( + ψ)].

5.2.2 Собственное продольное длиннопериодическое возмущенное движение ВС. Условия устойчивости опорного движения

Будем считать, что в конце короткопериодического движения наступает равновесие моментов, m_Rz ≈ 0 и Δω_z и Δ ْ α становятся малыми настолько, что ими можно пренебречь (см. (4.5))

;

; (5.17)

; (Δ ْ ω_z = 0).

(В горизонтальном опорном движении принимаем: С_p = С_xa, n_xk ≈ n_xa, γ_a = β = 0, cos θ = 1, = = , M ≈ 0);

;

= = = g ;

= = g( – cos θ) ≈ - g cos θ ≈ -g;

= ≈ (1 + ) = ( M – n_yk + cos θ);

= = (С_p + ) = = ;

= = D_z = D_z ( + );

= = D_z .

Исключая из первого и второго уравнений (5.17) с помощью третьего Δα, получим

= -2 h_д ΔV – g Δθ;

, (5.18)

где

; (5.19)

_д² = ( – ) = . (5.20)

Здесь: |_{nya = 1} = –

Дата добавления: 2015-08-27