Пример 8.

q=3

m=10

P₂=5  

P₁=3  

q=3

m=10

P₂=5  

P₁=3  

Рис.49

а)

б)

в)

г)

P₁=3  

3×2=6

М_2н =4 4

q=3

m=10

P₁=3  

P₂=5  

Сначала пронумеруем границы характерных участков. Обратим внимание на то, что мы впервые сталкиваемся с трехстержневым узлом 4. Наметим вначале последовательность нашего расчета. Вначале рассмотрим участок 1-2, затем перейдем на участок 2-4 и вычислим величину изгибающего момента в сечении выше точки 4. Затем рассчитаем участок 3-4 и вычислим момент в сечении правее точки 4. Далее «вырежем» узел 4 и определим величину момента левее точки 4. В завершение расчета рассмотрим участок 4-5. Расчет начинаем с участка 1-2. Для этого вновь прибегнем к уже ставшему стандартным приему – мысленно установим в сечении, совпадающем с окончанием первого участка, жесткую заделку (рис.49,а). При этом эпюра на участке 1-2 является аналогом первого частного случая (см. рис.18), ее характер и величина изгибающего момента левее точки 2 известны (рис.49,б).

- 33 –

Для перехода на вертикальный участок 2-4 необходимо «уравновесить» узел 2, т.е. добиться, чтобы сумма моментов, как внутренних, так и приложенных снаружи внешних (если они есть), относительно оси узла 2 была бы равна нулю. Для этого «вырежем» узел 2 с помощью замкнутого сечения, приложим к нему известный момент в сечении левее точки 2, равный 6, растягивающий верхние волокна, что следует из рис.49,б, и вращающий узел против часовой стрелки, и внешний момент 10. Искомый момент M_2Н в сечении ниже точки 2 в этом случае равен 10-6=4, вращает узел против часовой стрелки (рис.49,в). Обратим внимание на тот факт, что полученный из равновесия узла 2 момент, равный 4, растягивает левые волокна на стойке 2-4.

На следующем стандартном шаге ликвидируем условную заделку левее сечения 2 и переставим ее в сечение выше точки 4 (рис49,г). При этом в сечении 2 восстанавливаются ее кинематические характеристики. Далее рассмотрим участок 2-4. Приложим к нему сосредоточенный момент М=4, полученный из равновесия узла 2 и растягивающий левые волокна. Это аналог случая 2 на рис.21, а эпюра на этом участке показана на рис.50,а. На участке 3-4 эпюра аналогична первому частному случаю (рис.18), а величина момента, растягивающего верхние волокна в сечении правее точки 4 равна М_4П=5×2=10 (рис.50,б).

М_2н =4 4

б)

а)

г)

в)

5×2=10

q=3

P₁=3  

P₂=5  

=

14+(5+3)×4= 46

3×4²/2=24

Рис.50

Для перехода на участок 4-5 необходимо «уравновесить» узел 4, т.е. добиться, чтобы сумма моментов относительно оси узла 4 была бы равна нулю. Для этого «вырежем» узел 4 с помощью замкнутого сечения, приложим к нему известные моменты в сечениях правее и выше точки 4, равные, соответственно,10 и 4. Оба они вращают вырезанный узел по часовой стрелке. Искомый момент M_4Л в сечении левее точки 4 в этом случае равен 4+10=14, вращает узел против часовой стрелки (рис.50,в). Обратим внимание на тот факт, что полученный из равновесия узла 4 момент, равный 14, растягивает верхние волокна.

Далее рассмотрим участок 4-5. Приложим к нему сосредоточенный момент М=14, полученный из равновесия узла 4 и растягивающий верхние волокна, в точке 4 приложим также сосредоточенные силы Р₁=3 и Р₂=5, перенесенные с участков 1-2 и 4-3, параллельных расчетному и рассмотренных ранее и равномерно-распределенную нагрузку q=3. Исходя из принципа независимости действия сил, вычислим величину изгибающего момента в сечении 5. Независимое действие сосредоточенного момента М=14 соответствует частному случаю 2 (стр.21), приводя к растяжению верхних волокон. Отложим ординатувыше нейтральной оси (рис.50,г). Воздействие равномерно-распределенной нагрузки на участок 4-5 приводит к возникновению изгибающего момента, растягивающего нижние волокна (по третьему частному случаю) и равного М=q×L²/2=3×4²/2=24. Суммарное воздействие двух сосредоточенных сил приводит к растяжению верхних волокон, а вызванный ими изгибающий

- 34 -

q=3

а)

?

(22-14)/4=2

+

-

б)

+

3×4/2=6

3×4/2=6

+

=

- -

+

6+2=8

6-2=4

!

10/2=5

6/2=3

Узел 2

Рис.51

в)

q=3

m=10

P₂=5  

P₁=3  

+

-

+

М

-

Q

момент равен (3+5)×4=60. Алгебраическая сумма воздействий (в данном случае изгибающих моментов) в заделке 5 равна М₅=74-24=50. Этот момент растягивает верхние волокна. В пределах характерного участка 4-5 эпюра изгибающих моментов должна быть очерчена по квадратной параболе с выпуклостью вверх. Результат проведенного расчета на участке 4-5 (без уточнения поведения эпюры на этом участке) – на рис.51,а. На рис.51,б показан процесс построения эпюры Q на участке 4-5. На участке 4-5 на эпюре Q происходит изменение знака, что указывает на наличие экстремума на эпюре М. На рис.51,в приведены полные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для рассматриваемой задачи.

Построение эпюры продольных сил начнем, вырезав узел 2 с эпюры Q. На рис. 52,а показан узел 2 с приложенными к его стержням положительно направленными искомыми продольными силами N_2-1 и N_2-4, известными и направленными в соответствии со знаками поперечными силами левее и ниже этого узла. Из уравнений равновесия получены величины и знаки искомых продольных сил. Далее вырезаем узел 3. При этом обратим внимание на тот факт, что на участке 3-4 в сечении 3 отсутствует продольная нагрузка, что указывает со всей очевидностью на отсутствие на этом участке продольной силы. На рис.52,б рассматривается узел 4 с приложенной искомой продольной силой N_4-5, известной сжимающей продольной силой N_2-4=3, направленной «к узлу», поперечными силами левее, правее и выше этого узла. Из уравнения равновесия получены величина искомой продольной силы. На рис.52,в можно ознакомиться с эпюрой продольных сил для рассмотренного примера.

- 35 –

N_2-1

N_2-4

Узел 2

N

б)

а)

N_2-4=3

N_4-5

ΣX=0; N_4-5=0; ΣY=0; 8-3-5=0.

в)

-

Рис.52

Дата добавления: 2015-08-17