Пример 1.31

1. На множестве матриц порядка n нейтральным элементом относительно операции умножения матриц является единичная матрица.

2. На множестве целых чисел нейтральным элементом относительно операции умножения будет число 1, а относительно операции сложения – число 0. В этом случае он так же называется нулевым элементом.

3. На множестве целых четных чисел относительно операции умножения единичного элемента нет.

Утверждение 1.11. Единичный элемент единственен.

Предположим, что на множестве M относительно операции умножения имеются два единичных элемента e и e', причем e ¹ e'. Тогда, по определению единичного элемента e, имеем e'e = ee' = e, а по определению единичного элемента e', имеем: ee' = e'e = e'. Следовательно, e' = e. Полученное противоречие и доказывает данное утверждение.

Степени

Пусть а₁ = а₂ = … = a_n = a. Тогда произведение ааа..а (n раз ) называется n - й степенью элемента а и обозначается: aⁿ, где n = 1, 2, … Если М имеет единичный элемент, то полагаем: a⁰ = e.

Из теоремы1.1имеем:

аа…а = (аа…а)×(аа…а)

n – раз m – раз k – раз,

отсюда, с одной стороны, aⁿ = a^ma^k, c другой стороны, aⁿ = a^{m + k} , т.е. a^{m + k} = a^ma^k. Доказать самостоятельно,что (a^s) ^t = a^st, где s, k, t, m Î N,N – множество натуральных чисел.

В аддитивной терминологии понятию степени соответствует кратность:

а + а +…+ а = na

Дата добавления: 2015-07-20