Пример 1.16

1. Пусть Х = { 0, 1, 2 } ,Y = { 1, 2 }.

Тогда Х ´ Y = {< 0, 1 >, < 0, 2 >, < 1, 1 >, < 1, 2 >, < 2, 1 >, < 2, 2 >}, а Y ´ X = {< 1, 0 >, < 1, 1 >, < 1, 1 >,< 1, 2 >, < 2, 0 >, < 2, 1 >, < 2, >}.

Отметим, что в общем случае X ´ Y ¹ Y ´ X.

2. Пусть Х – множество точек отрезка [ 0,1 ], а Y – множество точек отрезка [ 1, 2 ]. Тогда X ´ Y – множество точек квадрата (рис. 1.2) с вершинами (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2).

Замечание. В связи с тем, что бинарные отношения являются множествами, то для них справедливы все понятия, определения и операции получения новых множеств через заданные множества. Так как элементами этих множеств являются пары, то могут быть введены и другие специфические определения и операции.

Композиция отношений

Обратным отношением для отношения r называется отношение:

r ^-1 = {< y, x > | < x, y > Î r }.

Заметим, что если r Í X ´ Y,то r ^-1 Í Y ´ X.

Композицией отношений r₁ и r₂ называется отношение:

r₁ o r₂ = {< x, z > | существует y, такое, что <x, y> Î r₁ и < y, z> Î r₂ } .

Дополнительно любые бинарные отношения имеют следующие свойства:

1) (r ^-1) ^–1 = r;

2) (r₁ o r₂) ^–1 = r₂ ^-1 o r₁ ^-1.

Доказательство первого из них очевидно. Приведем доказательство второго свойства.

По определению обратного отношения и композиции отношений, имеем:

(r₁ o r₂) ^–1 = {< x, y > | < y, x > Î r₁ o r₂ } =

= {< x, y > | существует z, такое, что < y, z > Î r₁ и < z, x > Î r₂ } =

= {< x, y > | существует z, такое, что <x, z> Î r₂ ^-1 и <z, y> Î r₁ ^-1 } = r₂^-1 o r₁ ^-1.

1.3. Функции

Ø Определение функции

Ø Свойства функции

Ø Композиция функций

Ø Тождественное отображение

Определение функции

Бинарное отношение f называется функцией, если из < x, y > Î f и < x, z > Î f следует, что y = z.

Так как функции являются бинарными отношениями, которые, в свою очередь, являются множествами, то к ним применим принцип объемности, т.е. две функции
f и g равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения функции обозначается через D_f, а область ее значений через E_f.

Если D_f = X, а E_f Í Y, то говорят, что функция f задана на множестве X со значениями во множестве Y и осуществляет отображение множества X во множество Y. Это отображение обозначается так: f: X ® Y.

Если f – функция, то записи: <x, y> Î f или x f y заменяют записью: y = f (x), подчеркивая то, что понятие функции более узко, чем понятие бинарного отношения в связи с тем, что каждому значению x Î X соответствует только однозначение y Î Y.

---

Дата добавления: 2015-07-20