Пример 1.12

1. Закон дистрибутивности пересечения относительно объединения.

Доказательство закона проведем методом включений.

Требуется доказать, что А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С).

Шаг 1. Докажем сначала, что А Ç (В È С) Í (А Ç В) È (А Ç С).

Пусть х Î А Ç (В È С), тогда х Î А и х Î В È С ( т.е. х Î В или х Î С). Если х Î В, то х Î А Ç В и, следовательно, х Î (А Ç В) È (А Ç С). Если х Î С, то х Î А Ç С и, следовательно, х Î (А Ç В) È (А Ç С) .

Шаг 2. Теперь покажем, что (А Ç В) È (А Ç С) Í А Ç (В È С).

Пусть х Î (А Ç В) È (А Ç С), тогда х Î А Ç В или х Î А Ç С. Если х Î А Ç В, то х Î А и х Î В, следовательно, х Î В È С. Если х Î А Ç С, то х Î А и х Î С, следовательно, х Î В È С. Таким образом, х Î А и х Î В È С, т.е. х Î А Ç (В È С) .

Шаг 3. Поскольку доказано, что

А Ç (В È С) Í (А Ç В) È (А Ç С) и (А Ç В) È (А Ç С) Í А Ç (В È С),

то А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С).

Приведем теперь доказательство этого закона с использованием "формы от x ":

А Ç (В È С) = { x | x Î A и x Î (В È С)} = { x | x Î A и (x Î В или x Î С)} =
= { x | (x Î A и x Î В) или (x Î A и x Î С)} = (А Ç В) È (А Ç С).

1. Второй закон поглощения.

Требуется доказать, что А Ç (А È В) = А.

Пусть x Î А Ç (А È В). Тогда x Î А.

Пусть теперь x Î А. Тогда x Î А È B, следовательно, x Î А Ç (А È В).

Отсюда А Ç (А È В) = А.

2. Следующая цепочка равенств доказывает 1-й закон поглощения (используются известные тождества):

А È (A Ç B) = (A È A) Ç (A È B) = A Ç (A È B) = A. Следовательно, А È (A Ç B) = A.

---

Дата добавления: 2015-07-20