Пример 1.19

1. Отношение равенства на множестве Z есть отношение эквивалентности.

2. Отношение подобия на множестве треугольников есть отношение эквивалентности.

3. Отношение x < y на множестве R не является эквивалентностью, так как оно не рефлексивно и не симметрично, хотя и транзитивно.

4. Отношение сравнимости по модулю натурального числа n на множестве Z:
x º y (mod n) является отношением эквивалентности. Действительно, по определению x сравнимо с y по модулю n тогда и только тогда, когда x – y делится на n без остатка. Так как x – x = 0 делится на n, то x º x (mod n) – рефлексивность. Если x º y (mod n), то x – y делится на n, тогда и y – x делится на n, то есть y º x (mod n) – симметричность.

Далее, если x – y делится на n, то x – y = t₁n (t₁ – целое ), а если y – z делится на n, то y – z = t₂n. Складывая эти равенства, имеем: x – y + y – z = t₁n + t₂n, откуда
x – z = (t₁ + t₂) n, то есть x – z делится на n. Таким образом, из x º y (mod n) и y º z (mod n) следует, что x º z (mod n) – транзитивность.

5. Отношение принадлежности к одной студенческой группе на множестве студентов университета – эквивалентность.

6. На множестве N ´ N определим отношение: r = {<< x, y >, < u, v >> | xv = yu } это отношение есть эквивалентность.

(Доказать самостоятельно).

Пусть r – отношение эквивалентности на C.

Классом эквивалентности [ x ], порожденным элементомx, называется подмножество множества C, состоящее из тех элементов y Î C, для которых < x, y > Î r, иначе: [ x ] = { y | y Î C и < x, y > Î r }.

Дата добавления: 2015-07-20