Пример 1.13

Справедливо утверждение, что предложения:1) А Í В; 2) А Ç В = A; 3) А È В = В о произвольных множествах А и В попарно эквивалентны.

Покажем, что из предложения 1) следует предположение 2). Действительно,
А Ç В Í A. Пусть теперь x Î А, так как А Í В, то x Î B, следовательно, x Î А Ç В.

Покажем, что из предложения 2) следует предположение 3). Действительно, так как А Ç В = A, то А È В = (А Ç В) È В = B (на основании законов коммутативности и поглощения).

Покажем, что из предложения 3) следует предположение 1). Действительно, так как А Í A È В и А È В = В, то А Í В.

Метод характеристических функций

Для доказательства сложных теоретико-множественных тождеств более эффективно использовать характеристические функции.

Характеристической функцией c_A множества A Í U называется функция, заданная на множестве U (универсальное множество) со значениями на множестве { 0,1 }:

c_A (x) =

Очевидно, тождество L = R будет справедливым, если характеристические функции множеств L, R равны, т.е. c_L (x) = c_R (x). Поэтому, для доказательства справедливости теоретико-множественного тождества, следует выразить характеристические функции его левой и правой частей через характеристические функции входящих в них множеств. С этой цель приведем характеристические функции пересечения, объединения, разности, абсолютного дополнения и симметрической разности:

1) c_{A Ç B} (x) = c_A (x) × c_B (x);

2) c_{A È B} (x) = c_A (x) + c_B (x) - c_A (x) × c_B (x);

3) c_{A \ B} (x) = c_A (x) - c_A (x) × c_B (x);

4) c_`A (x) = 1 - c_A (x);

5) c_{A + B} (x) = c_A (x) + c_B (x) - 2 c_A (x) × c_B (x).

Кроме того, из определения характеристической функции следует, что = c_A (x).

---

Дата добавления: 2015-07-20