Пример 1.14.

Докажем справедливость тождества А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С) методом характеристических функций. Имеем, с одной стороны:

c_{A Ç(BÈ C )}(x) = c_A (x) × c_{B È C} (x) = c_A (x) ×(c_B (x) + c_C (x)- c_B (x) × c_C (x)) =

= c_A (x) × c_B (x) + c_A (x) × c_C (x) - c_A (x) × c_B (x) × c_C (x).

С другой стороны:

c _{( A ÇB) È( A Ç C )}(x) = c_{A ÇB}(x) + c_{A Ç C} (x) - c_{A ÇB} (x) × c_{A Ç C} (x) =

= c_A (x) × c_B (x) + c_A (x) × c_C (x) - c_A (x) × c_B (x) × c_A (x) × c_C (x) =

= c_A (x) × c_B (x) + c_A (x) × c_C (x) - × c_B (x) × c_C (x) =

= c_A (x) × c_B (x) + c_A (x) × c_C (x) - c_A (x) × c_B (x) × c_C (x).

Таким образом, характеристическая функция левой части совпадает с характеристической функцией правой части. Следовательно, рассматриваемое теоретико-множественное тождество справедливо.

1.2. Отношения

Ø Бинарные отношения

Ø Прямое произведение множеств

Ø Композиция отношений

Бинарные отношения

Упорядоченной парой < x, y > называется совокупность, состоящая из двух элементов x и у, расположенных в определенном порядке.

Две пары < x,y > и < u, v > считаются равными, если x = u, y = v.

Упорядоченная n -ка элементов определяется индуктивно с помощью понятия пары.

Упорядоченной n-кой элементов < x₁, x₂,..., x_n > называется упорядоченная пара элементов << x₁, x₂,..., x_n-1 >, x_n >. Иначе говоря, для n ≥ 2 имеем: < x₁, x₂,..., x_n > = << x₁, x₂,..., x_n-1 >, x_n >.

Бинарным (или двуместным) отношениемr называется множество упорядоченных пар. Если r – это некоторое отношение, то наряду с записью < x, y > Î r употребляется также запись: x r у (обычно такая запись используется, когда r является специальным обозначением отношения, знаком). Элементы x и y называются координатами или компонентами отношения r.

Областью определения бинарного отношения r называется множество:

D_r = { x | существует такое y, что x r y } .

Областью значений бинарного отношения r называется множество:

E_r = { y | существует такое x, что x r у } .

Дата добавления: 2015-07-20