При дифференцировании векторного операций выполняются все правила математического анализа, в частности, правило производной произведения:
,
где 
- угловое ускорение.
Рассмотрим второе слагаемое 
. Оно перпендикулярно вектору угловой скорости, следовательно, лежит в плоскости соприкасающейся окружности.
Из рисунка видно, что вектор направлен к оси соприкасающейся окружности, следовательно, эта составляющая полного ускорения является нормальным ускорением.
Для того чтобы получить ещё одно выражение нормального ускорения, подставим на место вектора линейной скорости 
его выражение через угловую скорость и радиус-вектор:
.
Такая операция называется двойным векторным произведением. Именно из-за неё обозначение векторного произведения «через скобочки» является предпочтительным. По законам векторной алгебры двойное векторное произведение раскрывается следующим образом:
.
Это правило многие поколения студентов запоминают по скороговорке: «абэце равняется бац минус цаб». Применим правило двойного векторного произведения к новому выражению нормального ускорения:
.
Для выражения модуля возьмём его проекцию на направление орта 
, нормали траектории:
Следовательно,
.
Теперь мы можем выписать все возможные выражения нормального ускорения:
.
Значит, первое слагаемое полного ускорения 
является ускорением касательным. Выпишем выражения касательного ускорения:
.
Если угловое ускорение направлено по оси окружности, то есть по линии угловой скорости, то оно связано только с изменением модуля угловой скорости, и движение происходит вокруг закреплённой оси. Если направления 
и 
не совпадают, то угловое ускорение связано также и с изменением направления угловой скорости. Тогда движение происходит вокруг мгновенной оси, направление которой определяется направлением мгновенной угловой скорости. Движение по окружности с мгновенной осью не рассматривается в нашем курсе. Поэтому во всех дальнейших рассуждениях имеется в виду закреплённая ось, хотя большинство формул будут справедливы и для мгновенной оси.
Дата добавления: 2015-07-19; просмотров: 78 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Угловая скорость и её связь с линейной скоростью. | | | Вращательное движение АТТ. |