Формула Стокса. Текст: Пусть - гладкая поверхность с параметром представлена

Текст: Пусть - гладкая поверхность с параметром представлена

,причем функции устанавливают взаимнооднозначное соответствие между точками с поверхности .

2. - огр. зал. область с кусочно-гладкой границей ,

причём граница ориентирована положительно(то есть область остаётся слева)

3.

- нормаль поверхности , а - поверхность с ориентацией .

4. и ( -область)

5. -кривая с параметрическим пределом

Теорема

Пусть функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в , тогда

Доказательство:

=

;

Складывая все три равенства, получаем формулу Стокса.

Билет 37.

Соленоидальное векторное поле.

Пусть задано векторное поле

имеют частные производные первого порядка в

- дивергенция векторного поля

-формула Гаусса-Остроградского, - внешняя нормаль

Теорема Пусть в области задано векторное поле , причём функции сходятся вместе с частными производными первого порядка в . Пусть и - ограниченная замкнутая область, и - кусочно-гладкая плоскость.

Пусть -диаметр области , тогда справедливо равенство

, - внешняя нормаль к

Замечание. Точка называется источником векторного поля. Как легко видеть из сформулированной выше теоремы для области с достаточно малым диаметром

Определение. Векторное поле называется соленоидальным, если для любой области , ограниченная зам. с кусочно-гладкой границей

Теорема. Для того чтобы поле было соленоидальным в области необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области дивергенция была равна 0.

Доказательство. Пусть поле соленоидально

Пусть т.к. открыто

т.к. численно равен 0 для .

Пусть будет по Гаусса-Остроградского

поле соленоидально.

39. Признак Вейерштрасса

Пусть дан функциональный ряд Е U_n(x) и сходящийся числовой ряд Е C_n. Если для любого n принадлежащего N выполняется неравенство /U_n(x)/<=C_n для любого x принадлежащего X, то функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на Х.

Док-во

Т.к. Е С_n сходится, то признаку сравнения для Е U_n (x) сходится абсолютно для любого х принадлежащего Х è E U_n (х) сходится абсолютно на Х по критерию Коши числового ряда. Для любого E>0 существует n_E такое, что для любого n>n_E и для любого p принадлежащего Z, p>=0, /C_n+p+C_n+p-1+...+C_n/<E (C_n <=0 для любого n) è /U_n+p(x)+...+U_n(x)/ <= /U_n+p(x)/+...+/U_n(x)/<= C_n+p+..+C_n <E для любого х принадлежащего Х. по критерию Коши равномерной сходимости функционального ряда è E U_n(x) равномерно сходится на Х.

40. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда

Лемма

Если функциональные ряды Е U_n(x) и E V_n(x) сходится равномерно на Х, то для любого L, B принадлежащих R функциональный ряд Е (LU_n(x) + BV_n(x)) сходится равномерно на Х.

Теорема

Пусть дан функциональный ряд E U_n(x), U_n(x) непрерывна в х_о принадлежащей Х и ряд равномерно сходится на Х к функции U(x). Тогда U(x) непрерывна в т. Х_о

Док-во

Пусть S_n(x)=EU_n(x) è S_n(x),(x)-> U(x) è для любого E>0 существует n_E: для любого n>n_E è /S_n(x)-U(x)/ < E/3 для любого х принадлежащего Х. Пусть n_o>n_E è S_no(x) непрерывно в т. Х_о è существует b>0: для любого х, 0</ x – x_o/ <b, х принадлежит Х.

Будет /S_no(x) – S_no(x_o)/< E/3. Тогда при любом х принадлежащем Х, 0</x – x_o/ < b будет /U(x) – U(x_o)/ = /U(x) – S_no(x) + ((S_no(x)) –S_no(x)) + (S_no(x) –U(x_o))/ <= /U(x) – S_no(x)/ + /S_o(x)- - S_no(x_o)/ + /S_no(x_o) – U(x_o) / < E è U непрерывна в т. X_o.

41. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда

Пусть дан функциональный ряд E U_n(x). Если функция U_n(x) принадлежит С[a,b], то для любого С принадлежащего [a,b] функциональный ряд E S U_n(t)dt равномерно сходится на [a,b] и S E U_n(t)dt = E (S U_n (t)dt)

Док-во

Т.к. U_n принадлежит С [a,b], то по теореме …, функция U(x)=E Un(x) непрерывна на [a,b] è U(x) интегрируем на [a,b] т.к. E U_n(x) равномерно сходится на [a,b], то для любого E>0 существует n_E такое, что для любого n >n_E будет /E U_n (x) - U(x)/<E/(b-a) для любого х принадлежащего [a,b] è /E S U_n(t)dt- S U(t)dt/ = / S E U_n(t) – U(t)dt/ <=

<=/S/E U_n(t) – U(t)/ dt/ < / S E/(b-a) dt/ = E/(b-a)*/X-C/<= E/(b-a) = E для любого х принадлежащего [a,b] è ряд E S U_n(t)dt равномерно сходится к S U(t)dt на [a,b].

· S интеграл от с до х

· Е – сигма от n=1 до бесконечности

Вопрос 43: Степенные ряды. Теорема Абеля и её следствие.

Определение: Ряд (1) называется степенным рядом. Положим z – z₀ = ζ è ряд (1) перепишем в виде (2). Очевидно, что исследование сходимости ряда (1) равнозначно исследованию сходимости ряда (2).

Теорема Авеля: Если ряд сходится при z₀ = 0, то он сходится при |z| < |z₀|, и притом абсолютно.

Доказательство: так как сходится

.

Так как .

Следствие: Если степенной ряд расходится при z₀ ≠ 0, то он расходится и при любом z, |z| > |z₀|.

44. удовл её следст условию: 1.ряд сх-ся при

2. ряд расх при Наз рядом сх-ти степенного ряда. Открыт круг рад R с центром в точке zo наз кругом сх-ти данного степ ряда.

Текст Рассм ряды рассм ряд , Пусть R радиус сх-ти получ ряда, тогда - радиус сх-ти и исх ряда

Интервал (xo-R,xo+R) наз интервалом сх-ти. Теорема (о сущ круга сх-ти) У степенного ряда всегда сущ радиус сх-ти.

45. Степенной ряд в интервале сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией и его можно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости:

Доказательство вытекает из описания области равномерной сходимости степенного ряда, трёх теорем о свойствах суммы функционального ряда и того, что при почленном интегрировании радиус сходимости не меняется: радиус сходимости ряда (1).

радиус сходимости продифференцированного ряда (1).

радиус сходимости проинтегрированного ряда (1), т.е. радиус сходимости не изменился.

Доказано.

Замечание. Непрерывность суммы степенного ряда можно гарантировать на множестве если в область сходимости входят точки Например:

46. Если функция раскладывается в степенной ряд (1) в некоторой окрестности точки а, то эта функция является бесконечно дифференцируемой в этой окрестности.

Пример.

непрерывна и имеет производные любого порядка и при

Производная в нуле:

Теорема (о единственности разложения функции в степенной ряд). Если в некоторой окрестности точки а

Степенной ряд вида называется рядом Тейлора в окрестности точки а. Таким образом, если функция раскладывается в степенной ряд, то он является рядом Тейлора. Например:

Доказательство.

Доказано.

Вернёмся к предыдущему примеру. Если ранее введённая функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки противоречие с возможностью разложения некоторой функции в некоторой окрестности. Т.е. одной бесконечной дифференцируемости функции недостаточно для разложения в ряд.

Исследуем условия разложимости функции в степенной ряд. Для этого воспользуемся формулой Тейлора:

Отсюда, раскладывается в степенной ряд в точке а тогда и только тогда, когда:

Таким образом, вопрос о разложимости связан с ростом производных функции f. Укажем достаточные условия на рост производных для разложимости функций в степенной ряд.

Теорема. Если то

.

Дата добавления: 2015-07-19