Необходимые условия диф-сти ф-ии в точке) Если ф-ия f диф-ма в т.а,то f непр-на в т. а

Док-во: n=2 z=f(x;y) a=(a1;a2) f(x;y)=f(a1+(x-a1)), a2+(y-a2)=f(a1;a2)+A1(x-a1)+A2(y-a2)+ (x-a1;y-a2)* при x непр-на в a.

3. (Дост усл диф-сти ф-ии в точке(формулировка теоремы). Пусть f опр. В нек. окр-ти U(a) и имеет в этой окр-ти ч.п. , j=1..n, кот непр-ны в a. Тогда f диф-ма в т. a.

4. {Производная сложной ф-ии.} Теорема. Пусть ф-ии x=x(t) и y=y(t) диф-мы в t(0), x0=x(t0), y0=y(t0), а ф-ия z=f(x,y) диф-ма в (x0,y0), тогда в нек окр-ти точки t0 опр след ф-ия z(t)=f(x(t),y(t)), кот диф-ма в t0 и Док-во: Т.к f(x,y) диф-ма в (x0,y0), то она опр в нек окр-ти Т.к x(t) y(t) диф в t0

они непр в t0 Т.о опр сложная ф-ия f(x(t),y(t)). Т.к. z=f(x,y) диф-ма в (x0,y0),то (по т. о пред сложн ф-ии). Пусть , тогда т.к. j=1…n Т.о чтд.

5. Теор. Пусть ф-ия z=f(x1..xn) диф-ма в точке x0= ) ф-ии xj=xj(t1….tk) j=1..n диффер в т. t0=(

тогда в нек окр-ти t0 опр след ф-ия

Ф-ия диф-ма в t0 и её полн диф-л можно в видах

Св-ва: 1. 2. 3. где

6. Опр. Ч.п. пор m наз ч.п. от ч.п. пор m-1. Если взятые ч.п. осущ произв по одной и тойже переменной, то она наз чистой ч.п. z=f(x1…xn) 1-ая ч.п.

Опр. Пусть ф-ия а(x1…xn) имеет в открыт мн-ве G непр ч.п. до пор m(m>=1) вкл. Дифференц. порядка m ф-ии f наз диф-л от диф-ла порядка m-1:

При вычислении дифференц. диф-ние незав. переменных рассм. как постоянные.

7. Формула Тейлора. Пусть в нек -окр-ти точки опр и непр вместе со своими ч.п. до порядка m вкл ф-ия f(x1…xn) Тогда

Док-во: Т.к. f имеет непр. ч.п. до порядка m вкл, то т.о произв след ф-ии F имеет непр произв порядка m вкл в нек окр-ти точки 0.

След-но, Докажем что аналог

чтд.

8. (Ф-ии неявно заданные) Опр. Пусть мн-во такое, что найдутся y R: где А неп ф-ия. Поставим в соотв х0 найден знач y в рез-те получим нек ф-ию опр на X. Про эту ф-ию можно сказать что она зад неявно. Теорема 1. Пусть ф-ия F(x,y) опр и непр в нек окр (x0,y0) и имеет в ней ч.п. кот непр в (x0,y0). Если F(x0,y0)=0, то сущ окр-ти V(x0),V(y0) точек x0, y0 ! удовл уравн F(x,y)=0. Ф-ия y=f(x) непр на V(x0) и имеет произв в x0, для кот справедл ф-ла Теорема 2. Пусть ф-ия F(x,y,z) опр и непр в нек окр (x0,y0,z0) и имеет в ней ч.п. , кот непр в (x0,y0,z0). Если F(x0,y0,z0)=0, , то сущ окр-ти (x0,y0) и z0: и V(z0). ! Ф-ия а непр М(чщбнщ) и я0=а(чщбнщ). Если F имеет ч.п. непр в (x0,y0,z0), то f имеет ч.п. и . Приложение неявных ф-ий.F(x,y) удолв усл т1, тогда опр ф-ия y=f(x), y0=f(x0). Ур кас Ур норм. пусть F(x,y,z). Ур. кас Ур норм

9. (Произв по направл. Градиент) Опр (произв по напр). пусть ф-ия W=f(x,y,z) опр в нек окр Мо(xo,yo,zo) - вектор. Рассмотрим произв т.М на прямой проходящей через Мо с направл вектором Обозначим МоМ расст. Между Мо и М, взятое со знаком +, если и МоМ направл в одном направл Если сущ предел (*)то но независим произв ф-ии f по направл . Опр (градиент)Градиентом ф-ии наз вектор, проекциями которого на координатные оси являются соотв частные производные данной ф-ии: производ данной ф-ии в направл связана с градиентом ф-ии след формулой Градиент ф-ии в каждой точке направлен по нормали к соотв линии уровня ф-ии. Направл градиента ф-ии в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания ф-ии в этой точке, при произв принимает наиб значение =

10. (квадратичные формы) Опр. Пусть B(x,y)- сим бил. форма. Ф-ия f(x)=B(x,x) наз квадр формой. Матр квадр формы наз матр соотв ей бил формы.

Критерий Сильвестра. Форма пол опред

Заметим, что форма f(x) отриц опред форме –f(x) полож опр –f(x)=

11. экстремум (необх усл экстр) если точка точка экстр ф-ии f и то она равна 0.

Док-во: Пусть - это та окр, где чтд.

12. (Дост. условие для ) Теорема. Пусть опр непр вместе с ч.п. 1 и 2-го порядка в нек окр-ти . Если , то точка экстремума причем если , то стр min, а если то стр max, если , то х.з., то экстремума нет. Набросок док-ва: Если полож опр в прот случае

13 (дост усл для ) Теорема. Пусть ф-ия f опр непр вместе с произв 1-го и 2-го порядков в нек окр-ти Если 2-ой дифферец полож опр квадр форма перемен (dx1dxn) то х0- точка строг min, а если отр строг max.

14. (Условный экстремум) Опр. X0 наз точкой усл экстр ф-ии f при выполн ур связи , если она явл точкой экстремума ф-ии f, рассматрив только на мн-ве Е.

Введем в рассмотр метод Лагранжа. Тогда рав-во озн, что точка усл экстремума x(0): система

Вопрос 15: Интегралы, зависящие от параметра. Теорема о предельном переходе.

Пусть . f(x, y) непрерывна по x при каждом фиксированном y. Тогда

Доказательство: В силу теоремы об экстремуме (смотреть вопрос 14), функция φ непрерывна на [a, b] è на этом интервале существует её интеграл по dx.

Для любого ε > 0 существует δ > 0: для любого y: 0 < |y – y₀| < δ è |f(x, y) – φ(x)| < ε / (b – a)

Вопрос 16: Интегралы, зависящие от параметра. Теорема о непрерывности (формулировка).

Пусть f(x, y) непр. на G. . Функции φ и ψ непрерывны на [c, d] è непрерывна на [c, d].

Вопрос 17: Интегралы, зависящие от параметра. Теорема о дифференцировании.

Теорема: Пусть f (df/dx) непрерывна на [a, b] x [c, d]. Тогда

Другая теорема: Пусть f и δf/δx непрерывны на прямоугольнике Δ=[a; b] x [c; d]. Множество , где . Функции φ и ψ непрерывны вместе с производными на [c, d]. Тогда

Доказательство: . Рассмотрим

Другие части уравнения разбираются аналогично. Ч. т. д.

18. Мера мн-ва Опр. Мнво точек удолв Ур-нию a1x1+…anxn+ao=0, наз гиперплоскостью. Зафиксир i=1…n

Опр. конечн или бескон предел наз n-мер мерой Жордана мн-ва Е=

Кон или беск наз нижним измер по Жордану мн-во, если оба предела конечны или равны .

Вопрос 19: Кратные интегралы. Определение и свойства.

Пусть множество Е измеримо (по Жордану). называется разбиением множества Е, если:

1) 2)

, где

Свойства интеграла:

- Аддитивность - - интеграл по объединению областей равен сумме интегралов по каждой части области.

- Линейность - - интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов.

- Геометрическая иллюстрация

- Оценки интеграла для непрерывной функции f:

20 .Критерий интегрируемости функций на отрезке. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.

Пусть задано некоторое разбиение T отрезка [ a, b ]: a=x₀<x₁<…<x_n=b. Пусть f(x) . Тогда по доказанному ранее f(x) ограничена на [ a, b ] и, следовательно, f(x) ограничена на каждом из отрезков разбиения [ x_k-1, x_k ], k=1,…,n.

Обозначим , , k=1,…,n.

Суммы и называются соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу.

Критерий интегрируемости
(без доказательств).

21.

Определение: Двойным интегралом от ограниченной функции f(x,y) по компакту К называется:

= , если такой предел существует.

Опр: множество К Rⁿ называется компактом, если К- ограничено и замкнуто, т.е. лежит в ограниченном объеме и содержит все свои предельные точки.

Свойства двойного интеграла (1-5)

1. = S(K), если f(x,y) 1

2. S(K) = 0 =0, где f- любая ограниченная функция

3. = +

4.S(К₁ К₂ )=0 +

5.m f(x,y) M mS(K) MS(K)

6. Если К- связный компакт и f(x,y) C(K), то

Сведение двойного интеграла к повторному

K=

Если ; f(x,y) C(K), то:

=

Доказательство:

Рассмотрим частный случай области интегрирования– прямоугольник D (изображен на рис.7 и разбит на прямоугольники К_ij).

рис.7

Интегрирование функции f по ординате осуществляется при постоянном x:

F(x) =

Покажем, что .

Разобьем стороны большого прямоугольника D на мелкие отрезки:

Тогда, тогда прямоугольник D разобьется на маленькие прямоугольники K_ij={(x,y):x }

S(K_ij) = , при измельчении разбиения сторон (m, n ).

S (Т)= =

Фиксируем : S(T)= .

Из непрерывности функций (по условию) следует:

m f(x,y) M

c < d

рис.8

Введем новую функцию f₁(x,y)

_, где D–прямоугольник:

=

Дата добавления: 2015-07-19