Интерполяционная формула Лагранжа и оценка её погрешности.

Задача интерполирования заключается в следующем: известны значения некоторой функции, образующ следующую таблицу

х	x0	x1	…	xn
y=f(x)	y0	y1	…	yn

И ищется функция F(x) приблизительно равная исходной и значения которой в точках х_0……х_п совпадают со значениями исходной в этих точка то есть . ( * )

х_0……х_п называются узлами интерполирования. Рассмотрим случай, когда интерпол-ю F(x) находится в виде многочлена степени не выше п.

Интерполяционная формула Лагранжа и оценка её погрешности.

Пусть f задана таблицей. Построим интерполяц-й многочлен степени не выше п, для которого выполняется (*). Будем искать в виде (2)

где - многочлен степени п, причем

(3)

Очевидно, что (3) с учетом (2) вполне обеспечит выполнение условий (*). Многочлен составим следующем образом

(4)

где - постоянный коэффициент, значение которого находится из первой части условия (3):

.

Заметим, что ни один множитель знаменателя не равен 0. Подставив последнее выражение в (4) и далее с учетом (2) окончнательно получим интерполяционный многочлен Лагранжа:

Или

(5)

Разность между исходной функцией и интерполяционным многочленом есть остаточный член интерполяц многочлена, который имеет вид

В силу единственности многочлена интерполир-я, этот остаточный член будет являться погрешностью. Оценка погрешности будет иметь вид

где

Задача 5.1. Дана таблица значений функции:

Х	1,2	1,9	3,3	4,7
f(x)	0,3486	1,0537	1,7844	2,2103

Дата добавления: 2015-07-17