Метод секущих

Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения , изолированный на отрезке (отделение корня произвольно, любым способом). Рассмотрим график функции , он будет иметь следующий вид, тогда . Соединим точки графика хордой. Уравнение прямой (хорды), проходящей через точки имеет вид. За приближенное значение искомого корня примем абсциссу точки пересечения хорды АВ, проходящей через точки имеет вид:

Если , то искомый корень найден,ес ли значении отлично от 0, то метод хорд применяют дальше. Если , то за новый, более узкий отрезок принимают и соединяют хордой точки

. Точкой пересечения хорды с Ох (её асциссой) будет значение значение , которые вычисляются по формуле

. Этот процесс можно продолжить далее. Полученная последовательность чисел: к искомому корню. Погрешность имеет вид

Где - точный корень, - приближенное значение этого корня.

Метод касательных(Ньютона)

Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения , изолированный на отрезке (отделение корня произвольно, любым способом). Функция должна быть непрерывна и её производные тоже до второго порядка включительно, на концах отрезка значения функции должно быть с разными знаками, а первая и вторая производная должны сохранять свой знак на всем рассматриваемом промежутке.

Возьмем на такое число при котором и имеют тот же знак, что и . Проведем в точке касательную к кривой , за приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ох. Тогда получим, зная что уравнение касательной в точке к кривой имеет вид:

Применяя далее этот прием, получим:

Таким образом получается последовательность чисел, которая имеет своим пределом искомый корень. Оценка погрешности имеет вид

Где - точный корень, - приближенное значение этого корня.

2.1. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них с точностью до 0.001 методом Ньютона(касательных)

Решение:

Разделяем корни уравнения графически

Уточняем корень

Если

Для нахождения x_n используем формулу

Следовательно x=-1.1542 является корнем

Дата добавления: 2015-07-17