Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и парабол (формула Симпсона).

- формулы прямоугольников: это простейшие квадратурные формулы, вытекающ из определения опред интеграла, как площади криволинейной трапеции. Разобьем на равных частей, получим ,

, тогда

- формула левых прямоугольников

- формула правых прямоугольников

где предельная абсолютная погрешность определяется условием

- формула трапеции

где предельная абсолютная погрешность определяется условием

- формула парабол (формула Симсона). Обязательно должно быть четным.

Задача 1.1. Вычислить по формуле Симпсона , приняв n=8. Оценить погрешность по методу удвоения шага вычислений. Вычисления вести с пятью знаками после запятой. Сравнить со значением, найденным по формуле Ньютона - Лейбница.

Решение: рассчитаем шаг по формуле .

Рассмотрим подынтегральную функцию

По этим двум формулам подсчитаем значения

		4,5		5,5		6,5
	0,33333	0,32038	0,30902	0,29894	0,28990	0,28173	0,027123

* Таблица не влезла, вот её продолжение

	7,5
	0,26748	0,26120

*в конце некоторых дробей стоя нули, тем самым показываем что точность 5 знаков после запятой достигнута во всей таблице.

Общий вид формулы имеет вид

Найдем для п =8

Вычисли два интеграла, первый с шагом , обозначим его как , второй с шагом (из условия нахождения погрешности) и обозначим его

Вычислим погрешность

Следовательно искомый интеграл равен

Найдем интеграл по формуле Ньютона – Лейбница

Задача 1.2.Вычислить по формуле Симпсона , приняв n=10. Оценить погрешность. Сравнить со значением, найденным по формуле Ньютона - Лейбница.

Решение:

Шаг вычислений

Подынтегральная функция

По этим формулам найдем значения для таблицы

		1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
		0.90909	0.83333	0.76923	0.71429	0.66667	0.625	0.58824	0.55556	0.52632	0.5

В общем случае формулы нахождения:

Для случая получим формулы

I – значение интеграла без учета погрешности

Точное значение находится по формуле Ньютона – Лейбница

Задача 1.3.Вычислить по формуле трапеций приняв n=10. Оценить погрешность. Сравнить со значением, найденным по формуле Ньютона – Лейбница

Решение:

Шаг вычислений

Подынтегральная функция

По этим формулам найдем значения для таблицы

		1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
		1.0488	1.09545	1.14018	1.18322	1.22474	1.26491	1.30384	1.34164	1.3784	1.41421

В общем случае формулы нахождения:

Для случая получим формулы

I – значение интеграла без учета погрешности

е

Точное значение находится по формуле Ньютона – Лейбница

2. Методы Ньютона (касательных) и секущих (хорд) для решения нелинейных уравнений.

---

Дата добавления: 2015-07-17