Метод наименьших квадратов обработки экспериментальных данных.

Пусть в результате измерений в процессе некоторого опыта получена таблица некоторой зависимости

х	x0	x1	…	xn
y=f(x)	y0	y1	…	yn

Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически (то есть в виде уравнения). Поставим задачу так, чтобы с самого начала обязательно учитывался характер исходной функции, то есть требуется найти функцию заданного вида (1), которая в точках принимает значения как можно более близкие к табличным значениям . Практически вид, приближающей функции можно определить, например, следующем образом. По таблице строиться точечный график функции , затем проводится плавная кривая по возможности наилучшим образом, отражающая характер расположения. По полученной прямой таким образом кривой устанавливается вид приближенной функции. Обычно вид берут из числа простых аналитических функций. Следует заметить, что строгая функциональная зависимость для экспериментально полученной таблицы наблюдается редко, так как каждая из участвующих в ней величин может зависеть от многих случайных факторов. Формула (1) называется эмпирической

формулой или уравн регрессии. Следует заметить, что формула (1) интересна тем, что позволяет находить значения функции для нетабличных значений х, «сглаживает» результаты измерений величины у. Оправданность такого подхода определяется в конечном счете практической полезностью наилучшей формулы.

Метод наименьших квадратов. Предположим, что приближенная функция в точках имеет значения (2) требование близости табличных значений и значений (2) и можно истолковать следующим образом. Будем рассматривать совокупность значений функции из таблицы и совокупность значений (2) как координаты 2-х точек п -мерного пространства, тогда задача приближения функции может быть переформулирована следующем образом. Найдем такую функцию , чтобы расстояние между точками было минимальным. Воспользуемся метрикой евклидова пространства и приходим к требованию, чтобы величина

(3)

была наименьшей, что равносильно следующему

(4)

Должна быть минимальной.

Таким образом, задача приближения функции формулируется следующем образом: найти функцию определенного вида, так чтобы сумма квадратов (4) была наименьшей. Такая задача носит название риближения функции методом наименьших квадратов.

Задача 6.1.Стационарное распределение температуры в теплоизолированном тонком стержне описывается линейной функцией. Дана таблица измеренных температур в соответствующих точках стержня:

---

Дата добавления: 2015-07-17