Метод наименьших квадратов

Пусть в результате получена таблица значений функции для ряда значений независимой переменной :

				…
				…

Если точки , , , …, примерно располагаются на одной прямой, это означает, что зависимость между и близка к линейной: . Подберем неизвестные коэффициенты и так, чтобы в каком-то смысле она наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.

Широко распространенным методом решения данной задачи является метод наименьших квадратов. Этот метод заключается в следующем.

Рассмотрим сумму квадратов разностей значений , даваемых экспериментом, и функции в соответствующих точках, т. е.

.

Подбираем параметры и так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение. Поскольку и – постоянные, то указанная сумма есть функция параметров и :

.

Чтобы найти значения параметров и , воспользуемся необходимыми условиями экстремума функции двух переменных: найдем частные производные от по переменным и и приравниваем их к нулю:

,

.

Параметры и найдем из этой системы. Для этого перепишем ее в следующем виде:

(12)

Для определения чисел и получили систему двух уравнений перовой степени. Можно доказать, что эта система всегда имеет единственное решение и что для найденных чисел и функция достигает минимума. Подставляя найденные значения и в уравнение , получим линейную функцию, наилучшим образом отражающую зависимость между величинами и , полученными из опыта.

Пример 10. Полученные из опыта значения функции при различных значениях независимой переменной приведены в таблице:

(13)

			1,5	2,1
	2,9	6,3	7,9		13,2

Методом наименьших квадратов найти функцию в виде .

Решение. Для решения этой задачи составим таблицу.

		2,9
	1,0	6,3		6,3
	1,5	7,9	2,25	11,85
	2,1	10,0	4,41
	3,0	13,2	9,0	39,6
∑	7,6	40,3	16,66	78,75

Воспользуемся для нахождения параметров и системой (12), в которой ; ; ; ;

получим .

Решим систему. Для этого выразим из второго уравнения:

Подставим в первое уравнение:

.

Отсюда .

Итак, , , и, следовательно, искомая функция имеет вид:

. (14)

Правильность вычислений легко проверить,

сделав чертеж.

На координатной плоскости строим точки 6,22

по результатам таблицы (13) и график

полученной прямой (14). В случае верного 2,86

решения точки будут расположены близко

к прямой.

Рис. 6 – решение верно 1

Рис. 4

8. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение 11. Функция называется первообразной для , если

(15)

или

(16)

Пример 11. есть первообразная для , так как или .

Пример 12. есть первообразная для , так как или .

Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное первообразная, которое отличаются друг друга на постоянное число.

Так в 11-м примере для первообразной будут, кроме , , , , и другие. Все они удовлетворяют условию (15) и (16). Вообще в общем виде можно записать первообразную в виде , где – произвольная постоянная. Действительно,

или

.

Определение 12. Общее выражение совокупности всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается:

. (17)

При этом , где

– подынтегральное выражение,

– подынтегральная функция.

Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.

Итак, интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому каждой формуле дифференцирования (15) соответствуют формула интегрирования (17).

Пример 13.

,

где – const.

Ниже приведена таблица основных интегралов. Каждую формулу можно проверить дифференцированием.

Таблица основных интегралов

1. (, – const, )

2. (для любого )

2.1. 2.2.

3.

4. (, , )

5.

6.

7.

8.

9. 10. ()

11. ()

12.

13.

При интегрировании используются свойства интегралов.

Дата добавления: 2015-07-16