Градиент и производная по направлению

Определение 10. Градиентом функции в точке называется вектор, выходящий из точки и имеющий своими координатами частные производные функции в этой точке:

. (9)

Если имеем функцию трех переменных , то

.

Чтобы ввести понятие о производной по направлению, рассмотрим функцию в некоторой области, содержащей точку и единичный вектор любого направления.

Если функция дифференцируема в точке , тогда производная по направлению вычисляется по следующей формуле:

. (10)

Производная по направлению характеризует

скорость изменения функции в точке

в направлении вектора . Из векторной

алгебры известно, что и есть

направляющие косинусы вектора ,

поэтому если , то

Рис. 3

; (11)

Пример 9. Найти в точке и производную в точке в направлении вектора , если .

Решение. Найдем частные производные функции и подсчитаем их значения в точке :

; ;

; .

По формуле (9) .

Чтобы найти производную по направлению (10), найдем направляющие косинусы вектора , используя формулы (11):

, .

Найдем производную по направлению:

,

,

.

Дата добавления: 2015-07-16