Частные производные высших порядков

Определение 6. Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначаются частные производные 2-го порядка так:

; ;

; .

Частные производные и называются смешанными производными. Можно доказать, а на практике это легко проверить, что , если они непрерывны.

Пример 4. Дана функция . Найти все ее частные производные 2-го порядка и убедиться, что .

Решение. ; ;

;

;

;

.

Из последних двух равенств видно, что .

Пример 5. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Находим ;

.

Подставим найденные значения в левую часть уравнения:

.

Получаем тождество, следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.

Дата добавления: 2015-07-16