Понятие функции двух независимых переменных

Функции нескольких переменных. Интегрирование

Методические указания

К выполнению контрольной работы № 4

для студентов I курса заочной формы обучения

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение 1. Пусть даны 2 непустых пространства и . Если каждой паре действительных чисел , принадлежащих множеству , по определенному правилу ставится в соответствие одно и только одно действительное число из , то говорят, что на множестве задана функция со множеством значений .

Определение 2. Множество называется областью определения функции, а множество , состоящее из всех чисел вида , где , – множеством значений функции.

Определение 3. Значение функции в точке обозначают и называют частным значением функции.

Так, например, если , то значение функции в точке обозначают следующим образом:

.

Геометрическим изображением функции в прямоугольной системе координат является некоторая поверхность.

Аналогично определяется функция любого числа переменных .

Определение 4. Линией уровня функции называется линия на плоскости , в точках которой функция сохраняет постоянное значение .

Если положить , выбрав эти числа в арифметической прогрессии с разностью , то мы получим ряд линий уровня, по взаимному расположению которых можно судить о характере изменения функции: где линии гуще – функция изменяется быстрее (поверхность, изображающая функцию, идет круче).

Пример 1. Найти область определения функции. Сделать чертеж.

.

Решение. Данная функция определена и принимает действительные значения при или . (1)

Сделаем чертеж. y

-2 2 x

Рис. 1

Замечание. Из системы неравенств (1) видно, что первому неравенству будут удовлетворять координаты всех точек, лежащих внутри круга и на окружности, а второму – координаты точек, лежащих вне параболы. Таким образом, обоим неравенствам одновременно будут удовлетворять координаты точек, лежащих вне параболы, но внутри круга.

На чертеже (рис. 1) получим заштрихованную часть плоскости.

Пример 2. Найти и построить линии уровня функции .

Решение. Положим , тогда уравнение семейства линий уровня примет вид . При это будет семейство окружностей радиуса с центром в начале координат. Полагая , получим следующие уравнения окружностей: (точка ), и т. д. (рис. 2).

y

x

Рис. 2

Дата добавления: 2015-07-16