Читайте также:
|
Определение 7. Касательной плоскостью к поверхности в точке 
называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через точку .
Определение 8. Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая через точку касания и перпендикулярная касательной плоскости.
Если поверхность задана неявно, т. е. ее уравнение 
, тогда уравнение касательной плоскости в точке 
к поверхности имеет вид:
(3)
где 
, 
, 
– значения частных производных функций, вычисленных в точке , а 
, 
, 
– текущие координаты точки касательной плоскости.
Уравнение нормали к поверхности в точке записывается в виде:
(4)
Если уравнение поверхности задано явно, т. е. 
, то формулы (3) и (4) примут вид:
(5)
. (6)
Пример 7. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке 
.
Решение. Определим третью координату точки касания, подставив 
, 
в уравнение поверхности. Получим 
, откуда 
. Таким образом, точка касания имеет координаты 
.
Перепишем уравнение в виде 
и найдем частные производные:
; 
; 
.
Подсчитаем их значения в точке :
; 
; 
.
Применяя формулы (5) и (6), получим:
или 
.
Итак, 
– уравнение касательной плоскости,
– уравнение нормали.
Нуль в знаменателе означает, что направляющий вектор нормали, а значит и сама нормаль перпендикулярны оси 
.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 50 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ | | | ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ |