где с не зависит от h (т.е. от N).

Без доказательства (см.[1,2]).

Однако это условие не всегда легко проверить. Поэтому для конкретных итерационных схем вырабатываются и доказываются более простые достаточные условия. Таковы, например, условия “диагонального преобладания” для схем прогонки.

Теорема 4.6. (Необходимый спектральный признак устойчивости). Пусть - собственные числа оператора R_h. Для устойчивости схемы (31) по правой части необходимо выполнение условия:

,

(32)

причем константа не зависит от h (от N).

Пусть (32) не выполняется для некоторого собственного значения . То есть, не существует такой константы , для которой (32) выполнялось бы для данного ₁. Фактически, это означает, что вместо линейного ограничения имеем:

, где 0<d<1, c ₁ - некоторая константа.

Пусть - соответствующий собственный вектор, т.е.

Оценим по сеточной норме:

.

Из последнего неравенства следует:

Заметим, что по условию на a, поэтому

т.е. нарушается условие устойчивости, сформулированное ранее. Происходит экспоненциальный рост ошибки.

Рассмотрим снова сеточное уравнение вида (31)

Теорема 4.7. Пусть конечно-разностная задача (31) однозначно разрешима, аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с порядком p относительно h и устойчива. Тогда имеет место сходимость в сеточной норме:

,

где - решение сформулированной разностной задачи; - точное решение дифференциальной задачи, взятое на сетке. При этом, если выполняется условие

,

то говорят, что имеет место сходимость порядка p.

Согласно условию теоремы имеет место аппроксимация порядка p:

	(33)
	(34)

где - невязка, которая получается при подстановке точного решения в левую часть уравнения. Подставляя в (33), получаем:

.

(10) (35)

В возмущенном уравнении

выберем в качестве возмущения невязку, т.е. положим

,

тогда

.

(11) (36)

В силу определения устойчивости по правой части имеем:

.

(12) (37)

Уравнения (33) и (37) имеют одинаковые правые части. В силу однозначной разрешимости задачи (31), имеем:

.

Подставим в (37)

.

Таким образом, мы одновременно доказали сходимость и установили, что порядок сходимости совпадает с порядком аппроксимации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вержбицкий В.М. Численные методы в 2-х томах.-М.: Высшая школа, 2001.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.-3-е изд.-М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,-2004.-636с.

3. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. Пособ.-М.: Высш.шк. – 2000.-192с.

4. Самарский А.А. Задачи и упражнения по численным методам: Учеб.пособ. – Эдиториал, УРСС, 2000.-207с.

5. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: Учеб.пособ. – 2-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2000.-207с.

6. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике (вводный курс): Учеб.пособ. для вузов.- Изд. 2-е, испр. И допол. – М.: МФТИ, 2000.-224с.

7. Мэтьюз Д., Финк К. Численные методы. Использование MATLAB, 3-е изд.,пер. с англ. – М.:изд. Дом Вильямс, 2001.-720с.

8. Кетков Ю.Л. и др. MATLAB 7.: Программирование численных методов.-СПб.:БХВ – Петербург, 2005.-752с. (гл.13,14)

9. Яковлев В.Б. Вычислительная математика: Учеб. пособ. – М.:МИЭТ, 2008.-132с.

10. Гончаров В.А., Земсков В.Н., Яковлев В.Б. Лабораторный практикум по курсу «Вычислительная математика». – М.: МИЭТ, 2008. – 104 с.

11. Долголаптев В.Г., Земсков В.Н. Численные методы решения разностных уравнений математической физики. Методические указания к курсовой работе.-М.:Миэт, 1987.

12. Земсков В.Н., Хахалин С.Я. Метод сеток. Методические указания к выполнению курсовой работы на персональном компьютере.-М.:МИЭТ, 1998.

13. Лисовец Ю.П., Ревякин А.М. и др. Пакет MATLAB и его применение в лабораторном компьютерном практикуме. Учебное пособие.-М.:МИЭТ, 1998.

Дата добавления: 2015-07-16