Метод Эйлера и его модификации.

Будем искать решение задачи (6) в прямоугольнике

.

Введем равномерную сетку на оси

, , .

Простейший итерационный процесс решения задачи (6) получается, если аппроксимировать производную на сетке правой конечной разностью. Обозначая приближенное решение на сетке , получим

или

(10) (10)

Итерационная процедура (10) представляет собой метод Эйлера (или метод ломаных). Графическая иллюстрация метода приведена на рис. 4.1

Рис. 4.1. Графическая иллюстрация метода Эйлера (метод ломаных). Жирная кривая – ломаная Эйлера;

U(x) – интегральная кривая, проходящая через начальную точку (1, U(1));

шаг сетки h = 1. eps(3) – погрешность в точке x ₂ = 3.

Начав движение из точки на точном решении , итерационное решение образует ломаную линию, каждый отрезок которой представляет собой касательную к кривой , проходящую через данную точку.

Действительно, запишем уравнение касательной к u (x) в точке и положим :

.

Далее, аналогичным образом, строим касательную в точке и положим

и т.д.

Здесь – та интегральная кривая, которая проходит через точку (x ₁, y ₁).

Из рисунка видно, что ошибка растет с номером k. Выясним, каков порядок этой ошибки в сеточной норме

.

Будем считать, что ошибка округления имеет порядок не меньший, чем . Тогда из (10) следует:

(11)

Разложим точное решение в точке с такой же точностью:

(12)

Вычтем(12) из (11) Þ

(13)

где .

В силу условий теоремы существования и единственности частные производные ограничены в прямоугольнике : .

Обозначим и оценим (13) по модулю

по условию.

Обозначим

(10) (14)

Теорема 4.4. Для метода Эйлера имеет место следующая оценка погрешности:

(11) (15)

Из (14) следует (используем рекурсию «назад»):

Используя алгебраическое тождество

Получаем:

(12)

В последнем неравенстве использован второй замечательный предел.

Учитывая, что

получаем

,

т.е. оценку (15).

Замечание. Из соотношений (14) и (15) следует, что

1. Ошибка растет с номером шага k.

2. Порядок ошибки в методе Эйлера .

Рассмотрим несколько модификаций метода Эйлера повышенной точности.

Метод предиктор-корректор. Проинтегрируем обе части уравнения (6) по отрезку на равномерной сетке :

.

Левую часть полученного уравнения вычисляем по формуле Лейбница:

.

Для вычисления правой части используем квадратурную формулу трапеций:

где погрешность, определяемая формулой

.

Если отбросить остаточный член, то получаем неявную итерационную схему.

(13) (16)

Аналогично тому, как оценивается ошибка в методе Эйлера, можно показать, что результирующая ошибка метода (16) имеет порядок (теряется один порядок при приближении к концу отрезка).

Т.к. схема (16) неявная, то ее следует решать методом итераций для фиксированных точек и . Более простой путь заключается в следующем. Используем в (16) только 2 последовательных этапа итераций:

(14) (17)

с начальным условием: .

Полученная схема (17) имеет также порядок точности и носит название «метод предиктор-корректор».

Поясним геометрический смысл названия.

На первом этапе предсказывается значение по методу Эйлера. На втором этапе это значение корректируется путем усреднения угловых коэффицинтов в точках и . За счет коррекции точность метода и повышается на порядок по сравнению с методом Эйлера.

Метод средней точки. Найдем сначала значение в промежуточной точке отрезка по простому методу Эйлера.:

- обозначим так найденное значение на половинном шаге от точки . Затем в полученной точке вычислим угловой коэффициент касательной и в этом направлении совершим движение из точки в точку :

.

Полученный метод имеет 2-ой порядок точности и называется модифицированным методом Эйлера с коррекцией углового коэффициента на половинном шаге или более коротко─ метод средней точки.

Существует общий теоретический подход к построению явных итерационных методов решения задачи Коши повышенного порядка точности . Это так называемые Методы Рунге-Кутты -го порядка, удовлетворяющие следующим условиям.

1. Это одношаговые методы, т.е. при переходе из точки в точку используется лишь информация о предыдущей точке .

2. Процедура согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где - порядок метода.

3. Метод не использует производных от , а требует только вычисления функции в различных точках сетки, причем число вычислений функции - минимально возможное для данного порядка.

Заметим, что метод Эйлера является частным случаем метода Рунге-Кутты, имеющий наименьший первый порядок точности, а методы средней точки и предиктор-клрректор - методы Рунге-Кутты второго порядка.

Остановимся вкратце на средствах пакета MATLAB решения задачи Коши. Здесь реализованы следующие процедуры Рунге-Кутты:

ode23 – метод второго и третьего порядка;

ode45 - метод четвертого и пятого порядка;

ode113 – многошаговый метод Адамса переменного порядка;

При практическом применении методов повышенной точности возникает вопрос, какой формулой пользоваться на практике? Если априори известно, что - достаточно гладкая функция, например, , то наиболее эффективна процедура ode45 или ode113. Если же гладкость функции недостаточна, то лучше использовать методы второго и третьего порядка. В лабораторной работе 7 предусмотрено знакомство с этими командами.

4.4. Численные методы решения краевых задач для ОДУ.

Дата добавления: 2015-07-16