Метод конечных разностей (метод сеток).

Наиболее эффективно этот метод применяется для линейной краевой задачи, постановка которой для дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

(21)

Введем равномерную сетку - шаг сетки.

Определим на этой сетке сеточные функции:

, где - точное решение на сетке.

Запишем основное уравнение системы (21) для фиксированного узла :

. (22)

В каждом внутреннем узле сетки () аппроксимируем производные по формулам второго порядка точности (см. теор. 4.1 – 4.3):

Подставим полученные соотношения в (22):

,

где обозначено - сеточный оператор, действующий на сетке. Умножая обе части уравнения на и отбрасывая остаточный член, получим приближение к точному уравнению:

.

Приводя подобные члены, получим окончательно:

, где .

(23)

Общее число неизвестных на сетке равно (), а система (23) содержит уравнение для неизвестных . Недостающие значения должны быть определены из граничных условий. Порядок аппроксимации основного уравнения системы . При постановке задачи с краевыми условиями первого рода порядок аппроксимации всей схемы не ухудшится и будет равен . В случае краевых условий второго или третьего рода необходимо аппроксимировать их также со вторым порядком, чтобы не потерять общий второй порядок аппроксимации всей схемы. Рассмотрим один из вариантов аппроксимации краевого условия третьего рода на левом конце отрезка.

Граничное условие третьего рода имеет вид (см. урав.(18)):

(24)

Разложим функцию по Тэйлору с центром в точке и найдем значение :

найдем из уравнения (21), аппроксимируя его в точке сетки (непрерывность вторых производных на отрезке позволяет это сделать):

.

Подставляя найденное значение второй производной в выражение для , получаем:

.

Отбрасывая остаточный член и приводя подобные в последнем уравнении, получаем систему линейных уравнений для неизвестных :

Исключая из полученной системы , получаем линейное уравнение, связывающее два сеточных значения и :

,

где параметры легко выражаются через . Аналогично аппроксимируется третье краевое условие на правом конце отрезка, которое приводится к виду

.

В результате получаем неявную конечно-разностную систему уравнений, записанную в каноническом виде:

(25)

Система (25) - трехдиагональная, для которой разработаны специальные эффективные методы численного решения, например, метод прогонки [1,6,11].

4.4.3. Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.

Пусть

(26)

Апроксимируем (26) на сетке с шагом . Тогда

(27)

Определение 1. Говорят, что задача (27) апроксимирует задачу (26) на сетке с порядком относительно шага , если выполняется условие:

,

где константа не зависит от . Заметим, что по определению сеточного решения . С другой стороны,

,

т.к. при подстановке точного решения в левую часть сеточного уравнения системы (27), получим несколько иную сеточную правую часть. Поэтому, обозначив

- - “невязка”, получаем:

-

- по условию аппроксимации порядка p.

Итак

(28)

Определение 2. Пусть

(29)

невозмущенная задача на сетке,

-

- возмущенная задача..

Разностная схема (29) устойчива по правой части, если малое изменение “правой части” () приводит к малому изменению решения, т.е. если

где с₂ не зависит от h.

Пример 2. Пусть в задаче Коши функция f (x, u) линейна по переменным.

.

Привести к каноническому виду одношаговый итерационный процесс.

После аппроксимации производной на сетке w_h в точке (x_n,y_n), получаем

(30)

К такому же виду может быть приведена система уравнений в задаче Коши, где уже y_n – вектор, R_h – матрица.

Пример 3. Привести к каноническому виду краевую задачу (25) с граничными условиями первого рода.

Введем векторы:

и матрицу (25) переписывается в виде

(31)

При таком преобразовании можно исследовать отдельно устойчивость по правой части и устойчивость по граничным условиям.

Теорема 4.5. (Необходимый и достаточный признак устойчивости процедуры (31) по правой части). Итерационная процедура устойчива по правой части тогда и только тогда, когда выполняется условие

Дата добавления: 2015-07-16