ПГР и стационарное решение

- состояние СМО на момент времени . Пусть - марковский ПГР.

Пусть ; ; . (1)

Доказательство: ◄

I. - марковский. Существует

II. - ПГР. Параметры его соответствуют указанным в (1).

Переходные вероятности:

1)

2)

(2)

Докажем (2):

Если

- ровно одно освобождение.

3)

- 0 вызовов для простого потока

- 0 освобождений.

Стационарное решение.

(*) если , , получаем - геометрическую прогрессию. Пусть знаменатель равен

Если , ; (3)

.

Значит, (4)

остается неизвестным.

если , то расх., с течением времени очередь только растет, поскольку СМО не справляется. Считаем, что ряд сходится.

(5) ; по формуле геометрической прогрессии , поэтому теперь (если )

– вероятность того, что все линии свободны.

для более общего случая получаем, подставляя в формулы (3) и (4) для .

Фиксируем и смотрим, как себя ведет при .

Свойства последовательности

1) . образуют геометрическую прогрессию со знаменателем , так как . .

2) Чем больше номер состояния, тем меньше его вероятность. . С ростом вероятности больших размеров очереди малы.

;

Замечания:

1. Физический смысл условия

- среднее число вызовов, которое система может обслужить. В среднем поступает вызовов в единицу времени.

Очередь неограниченно растет. Тогда (а не только когда )

Пример: прием больных врачом.

Пусть (врач); заполнение карточки - в среднем 20 минут . У врача пропускная способность 3 человека в час. челов./час. На четырехчасовой рабочий день 12 человек.

Дата добавления: 2015-07-19