Понятие о процессах гибели и размножения (ПГР). Стационарное решение и его интерпретация.

ОПР: : 0, 1, 2,… ,… ;

- произвольный момент времени;

; .

за

а) с вероятностью

б) с вероятностью

в) с вероятностью

Если для случайного процесса выполняются эти условия, он называется ПГР.

- параметры процесса, не зависящие от прошлых состояний системы.

Вероятность перехода за равна , если

В биологии: состояние - численность популяции.

для ПГР. Если - это процесс размножения (ПР).

Если , то . Если либо (для случая ) – это процесс гибели (ПГ).

Постановка задачи Эрланга для ПГР

Нахождение семейства функций .

Семейства :

1. Неотрицательность: (; )
2. Вся совокупность этих функций удовлетворяет нормировочному условию:

Если , - взрыв невозможен.

]

, , - начальные вероятности.

зависит от .

; :

1. , ; при некоторых условиях.
2. не зависят от .

Нахождение - задача Эрланга в предельной форме – задача нахождения стационарного решения.

Свойства :

1. 
2. 

Замечание: если ,

] правое слагаемое меньше , если

. . Тогда

Интерпретация :

- вероятность -го состояния (ровно вызовов в системе). . .

]

- время пребывания СМО в состоянии

- среднее относительное время пребывания СМО в состоянии .

Теорема (эргодическая):

, то есть

- среднее относительное время пребывания процесса в состоянии . Если – большое, то - средняя длина промежутка времени, в течение которого в системе было ровно вызовов.

Дата добавления: 2015-07-19