Характеристическая функция коалиций

m	ν
	-1

Иногда используют и обычную нормальную форму игры, которая в данном случае имеет вид двух матриц, соответствующих выбору третьим игроком коалиции с 1-м и со 2-м игроками. При этом в ячейках таблицы придется указывать выигрыши каждого из игроков, как это делается для игр с ненулевой суммой. Очевидно, для анализа удобнее форма, представленная в табл.1.

В данном случае возможны 3 коалиции. Все они устойчивы, так как переход в к другой коалиции не повышает выигрыш хотя бы одного участника действующей коалиции. При попытках не вошедшего в коалицию игрока создать другую коалицию, один из коалициантов будет против (его выигрыш уменьшится до -1), а другой – безразличен (его выигрыш останется 1.2). Конечно, его можно попытаться переубедить, предложив дополнительное вознаграждение за счет третьего игрока (при создании новой коалиции его выигрыш возрастет с -1 до ½), но это противоречит правилам данной игры, предусматривающей равномерный дележ внутри коалиции. Разные правила игры соответствуют разным нормам поведения, принятым в обществе. Коалициант может отказаться от перехода в более выгодную для него коалицию по этическим, идейным или религиозным соображениям. Таким образом, в зависимости от существующих норм поведения игра может иметь разное решение при той же матрице игры.

Анализ общей игры трех лиц с неравномернцм дележом приводит к весьма неожиданным выводам. Например, если только один из игроков обладает правом получения более половины выигрыша коалиции в ущерб своего партнера по коалиции, то остальные игроки просто не будут участвовать в коалиции с ним – им выгоднее коалиция с обычным игроком. В этой ситуации привилегированный игрок будет вынужден сам предлагать партнеру компенсацию, чтобы не оказаться в проигрыше. Строгое решение игры с произвольным дележом выигрышв было получено Нейманом графическим методом. Он рассматривал трехмерный вектор выигрышей α = (α₁, α₂, α₃,) на плоскости с тремя осями α₁, α₂, α₃, под углом 60^о друг к другу (компоненты вектора – это выигрыши игроков). Из условия ограничения на размер проигрыша (α_i≥ -1) можно сделать вывод, что решение находится внутри области, ограниченной «фундаментальным» треугольником (рис.1). Причем устойчивым оказывается дележ вида:

α = (a, b, -a -b),

где константы a и b удовлетворяют условию -1 ≤ b ≤ 1-a. Это семейство решений явно не симметрично относительно игроков и означает следующее. Один из игроков (для определенности, третий) сразу исключается из процесса переговоров о создании коалиции. Переговоры ведутся между 1-м и 2-м игроками о разделе между ними суммарного выигрыша и о величине проигрыша 3-го игрока. Решение лишь оговаривает интервал для этого проигрыша и ничего не говорит о пропорции между выигрышами первого и второго игрока. То есть в принципе весь выигрыш может забрать, например, первый игрок – второй все равно не выйдет из коалиции, так как на заключение коалиции с третьим игроком наложен запрет. Именно поэтому коалиция и оказывается устойчивой. Нечто похожее отмечалось в последние годы в работе Верховной Рады Украины, когда представители оранжевой коалиции заявляли о недопустимости переговоров с партией Регионов по идейным соображениям. То есть из трех основных игроков – блока БЮТ, блока Наша Украина-Народная самооборона и партии Регионов последний был исключен по всем правилам теории игр. Заметим, что переход депутатов из одной фракции в другую требует рассмотрения каждого депутата в виде отдельного игрока, что приводит к практически не решаемой задаче с 450 игроками.

5. Может создаться впечатление, что теория игр способна полностью объяснить, например, образование и распад коалиций в парламенте, рассмотрев игру, в которой коалиции образуются отдельными игроками-парламентариями. На самом деле коалиционные игры удается теоретически описать лишь при небольшом числе игроков - уже при n = 4 геометрическая интерпретация игры связана с рассмотрением трехмерного куба как области возможных решений. Поэтому при n ≥ 4 теория коалиционных игр рассматривает лишь некоторые частные случаи, как правило те, когда игра распадается на более простые подъигры (например на игру 3-х лиц и «болвана»(dummy)). А в том же парламенте Украины, например, 450 депутатов, так что говорить о полном теоретическом описании ситуации здесь явно не приходится. На практике образование коалиций в парламенте обычно описывают не как игру всех взаимодействующих депутатов, а как образование коалиций из фракций, число которых не столь велико. Численность фракций при этом учитывается введением статистических весов для макроигроков, участвующих в голосовании.

Рассмотрим голосование в парламенте, состоящем из 3-х фракций: левых (Л), правых (П) и партии центра (Ц). Пусть численность этих фракций составляет соответственно 49, 1 и 50 депутатов. Предположим, что для принятия определенного законопроекта необходимо набрать простое большинство голосов, то есть хотя бы 51 голос. Ясно, что ни одна из фракций столько голосов не имеет, поэтому необходимо создать коалицию, насчитывающую достаточное количество голосов. В принципе, получается та же игра трех лиц, рассмотренная выше, но с некоторыми изменениями. Во первых, будем считать, что в случае создания достаточно влиятельной коалиции ее выигрыш равен 1, тогда как в противном случае он равен 0. Заметим, что это уже игра с ненулевой суммой и, например, выигрыш коалиции из всех 3-х фракций здесь равен 1. Это так называемая простая игра описывается как и прежде характеристической функцией, которая может принимать всего два значения: 0 и 1. Она описывается заданием выигрыша для всех возможных коалиций:

ν(Л,П) = 0

ν(Л,Ц) = 1

ν(П,Ц) = 1

ν(Л,Ц,П) = 1

Формально можно рассматривать коалиции из одной фракции (их 3 и для всех ν = 0) и даже коалицию, состоящую из пустого множества: ν(Φ) = 0. Итого получается 8 возможных коалиций. В игре n лиц число всех таких возможных поднаборов игроков равно 2ⁿ, что при n=3 как раз и равно 8. Из них выигрышными являются в данном случае только 3.

Принято оценивать роль отдельных фракций по числу выигрышных коалиций, в которую они входят. Причем особое значение имеют такие коалиции, которые перестают быть выигрышными при выходе из нее данной фракции. Например, игрок П входит в 2 выигрышные коалиции, но только в одной из них (Ц,П) он является критически важным. Аналогично и игрок Л может разрушить своим выходом только одну из выигрышных коалиций (Л,П). В то же время игрок Ц критически важен для всех трех выигрышных коалиций. Отношение числа выигрышных коалиций, для которых участие данной фракции является критичным, к полному числу таких минимально выигрышных коалиций, называется индексом Банцафа фракции. Таким образом, индекс Банцафа описывает роль отдельных фракций не столько в образовании коалиций, сколько в их распаде. Коалиция из двух партий может распасться при выходе либо первой фракции, либо второй. Поэтому при расчете знаменателя индекса Банцафа каждая такая коалиция учитывается дважды, то есть коалиции (Ц,П) и (Л,Ц) вместе дают 4 минимально выигрышных коалиций. Коалиция из трех партий может стать невыигрышной только при выходе из нее фракции Ц, поэтому она учитывается 1 раз. В результате получаем 5 минимально выигрышных коалиций, и индекс Банцафа для фракций Л,Ц и П равен 1/5, 3/5 и 1/5 соответственно.

Влияние разных фракций в коалиции описывается также индексом Шепли-Шубика. Этот индекс описывает как раз процесс создания выигрышной коалиции. Причем опять учитывается, какая именно фракция присоединяется к другой, то есть инициирует контакт. В нашем примере каждая из 3-х фракций может присоединиться к одной из двух других и в этом смысле существует всего 6 сценариев образования коалиции из двух фракций. Если предположить, что все они равновероятны, то вероятность каждого из них равна 1/6. Образование коалиции из трех игроков происходит при присоединении к уже образованной коалиции из двух фракций единственной оставшейся. Индекс Шепли-Шубика учитывает число сценариев, при которых присоединение данной фракции к коалиции приводит к созданию выигрышной коалиции (до ее присоединения голосов не хватало). Точнее говоря этот индекс равен среднему по всем сценариям выигрышу, который дает присоединение данной коалиции. Рассмотрим например фракцию П. Ее присоединение дает выигрыш 1 только в одном случае - когда П присоединяется к Ц. В остальных 5 сценариях она не приносит выигрыш и поэтому для нее индекс Шепли-Шубика равен:

1*1/6 + 0*1/6 + 0*1/6 + 0*1/6 +0*1/6 + 0*1/6 = 1/6

Точно также показывается, что для фракции Л этот индекс тоже равен 1/6, а для фракции Ц 4/6 = 2/3. Заметим, что эти значения отличаются от полученных ранее оценок индекса Банцафа, хотя в обоих случаях у фракции Ц индекс заметно больше, чем у других фракций.

На примере голосования 4-х фракций можно пояснить понятие «болвана» в коалиционных играх. Пусть у первой фракции 1 голос, у второй – 2, у третьей – 3 и у четвертой – 4. Всего получается 11 голосов, так что выигрышной является коалиция, насчитывающая хотя бы 6 голосов. Ясно, что в любой выигрышной коалиции можно обойтись без 1-го игрока, то есть он никогда не является критичным или приносящим выигрыш. Такие игроки и называются «болванами». Значение обоих рассмотренных индексов для 1-й фракции равно 0, для трех других оба индекса равны 1/3.

Вопросы:

1. Построение платежной матрицы в играх на размещение (location games) на примере выбора места торговли на пляже двумя торговцами водой.

2. Выявление минимаксных и доминируемых стратегий игроков.

3. Определение наилучшей ответной стратегии (BR).

4. Применение игры к определению оптимальной предвыборной стратегии на выборах с 2 кандидатами и равномерным спектром избирателей.

5. Определение стратегии, обеспечивающей наибольшую вероятность победы на выборах, и стратегии, гарантирующей определенное количество голосов.

6. Построение игровой матрицы при неравномерном спектре избирателей.

7. Игровая модель при 3 кандидатах на выборах.

8. Представление и анализ матрицы игры в случае дискретного политического спектра избирателей

9. Как подсчитывается суммарный выигрыш коалиции?

10. Оценка роли коалиции в парламенте.

11. Что обозначает и как подсчитывается индекс Банцаафа?

12. Что характеризует индекс Шепли-Шубика?

13. Поясните понятие «болвана» в коалиционных играх.

Литература:

Учебные пособия и монографии:

1. Алескеров Ф., Ортешук П. Выборы. Голосование. Партии. - М.: Академия, 1995. – 84 с.

2. Алескеров Ф.Т. и др. Влияние и структурная устройчивость в Российском парламенте (1905-1917 и 1993-2005 гг.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 312 с.

3. Клима Р.Э., Ходж Дж.К. Математика выборов: Пер. с англ. – М.: МЦНМО, 2007. – 224 с.

4. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики: Пер. с франц. – М.: Мир, 1985. – 200 с.

5. Binmore K. Game Theory. A very short introduction. Oxford University Press, 2007.

6. Brams Steven J. Game Theory and Politics. Dover Publications, 2004.

7. Gates S., Humes B. Games, Information and Politics. Applying Game Theoretic Models to Political Science. The University of Michigan Press, 2007.

8. Mayerson R.B. Game Theory. Analysis of Conflict. Harvard University Press, 1997.

9. Ordeshook Peter C. Game Theory and Political Theory. Cambridge University Press, 2003.

10. Watson J. Strategy. An Introduction to Game Theory. W.W.Norton & Company, 2002.

Дата добавления: 2015-11-16