Тема 8. Модели конкуренции и оптимизация сотрудничества

1. Модель лоббирования интересов двух сторон.

2. Учет партнерских интересов при максимизации личного выигрыша (partnership game).

3. Модели конкуренции при олигополии.

Семинарское занятие № 8. Партнерские игры (partnership games) и их представление

Оценка личного выигрыша при участии в партнерских играх. Теоретико-игровое представление олигополии. Модели лоббирования. Возможности применения теории игр в экономике.

Темы индивидуальных докладов:

1. Роберт Ауман и теория игр.

Тема кейса для коллективного обсуждения:

1. Газовый кризис на Украине

2. Участие ЕС и США в совместных миротворческих операциях

Презентация самостоятельно подготовленных кейсов

1. Как мы уже отмечали применительно к проблеме выборов из двух кандидатов существенное значение могут иметь затраты на предвыборную кампанию, которую можно рассматривать как «лоббирование» определенных политических позиций среди избирателей. Рассмотрим в связи с этим теоретико-игровую модель лоббирования своих интересов двумя конкурирующими фирмами. Поскольку при этом успех лоббирования конкретного проекта нередко зависит от поведения конкурирующей стороны, то есть все основания и здесь использовать в качестве модели парную игру. Выигрышем для каждого игрока является потенциальная выгода, получаемая в случае успеха лоббирования, проигрыш же равен затраченным ресурсам при победе конкурирующего проекта. Вообще говоря, игры, описывающие лоббирование, по числу возможных стратегий у игроков относятся к бесконечным играм, однако если учесть, что выбор вкладываемой в лоббирование суммы ограничен финансовыми возможностями игрока и эта сумма номинируется с разумной точностью (например, дискретами по 1000 евро), то игра становится конечной.

Пусть обе фирмы без лоббирования имеют одинаковый годовой доход P условных единиц. В случае успеха лоббирования выигравшая фирма получает доход S условных единиц, а проигравшая – N условных единиц, причем S>P и N<P. Оценим также стоимость лоббирования в L у.е. для каждой стороны. Поскольку в данном случае проигрыш одной стороны не равен выигрышу другой, то игра не является антагонистической или даже сильно соревновательной, в связи с чем для каждой из сторон строится своя матрица выигрышей. В такой простой постановке у каждой из фирм всего 2 стратегии – лоббировать или не лоббировать, поскольку затраты на лоббирование фиксированы. Каждой выбранной стратегии соответствует один из двух возможных исходов – успех или неудача лоббируемого проекта. Поэтому матрица выигрышей имеет размерность 2х2 для каждой из фирм. Ясно, что в случае отказа от лоббирования и при отклонении предлагаемого проекта обе фирмы просто сохраняют прежний доход P и не терпят убытков. С другой стороны, если фирма приняла решение лоббировать, а проект не прошел, итоговый «выигрыш» составит P – L. Если прошел проект второй фирмы, то выигрыш первой в любом случае равен N. Наконец, если фирма не принимала участие в лоббировании и ее проект был, тем не менее, принят, выигрыш составит S. Такая игра в нормальной форме приведена в таблице.

В таблице 1 через запятую указаны выигрыши первой и второй фирм когда вторая фирма не лоббирует свои интересы, а в таблице 2 – когда лоббирует. При этом для простоты предполагалось, что в случае лоббирования одной из фирм один из проектов обязательно принимается, а при отказе обеих фирм от лоббирования или лоббировании обеими фирмами – оба отклоняются. Конечно, могут быть и другие условия, например, допускаться отказ и при лоббировании одной фирмой. Формально это означает изменение правил игры, определяющих выигрыши сторон при определенном наборе их стратегий. Но вернемся к анализу матрицы игры, приведенной в таблице.

Таблица 1

Стратегии 1-ой фирмы	Стратегии 2-ой фирмы
Лоббировать	Не лоббировать
Лоббировать	Р-L,Р-L	S-L, N
Не лоббировать	N, S-L	P, P

Если выразить введенные выше переменные в некоторых условных единицах, например: P=10, L=15, N=0, S=30, то получим матрицу игры с ненулевой суммой:

-5, -5 15, 0

0, 15 10, 10

Отсюда видно, что если первая фирма придерживается первой стратегии, то второй выгоднее вторая. И наоборот, если вторая фирма придерживается второй стратегии, то первой выгоднее первая. Таким образом этот набор стратегий является устойчивым по Нэшу. Аналогично доказывается устойчивость еще одной пары стратегий – второй у первой фирмы и первой – у второй фирмы. Итак, игра имеет два устойчивых по Нэшу набора чистых стратегий. То есть, если известно решение второй фирмы, то первой ясно что надо делать. А если известна лишь вероятность того или иного решения? Тогда надо считать, что вторая фирма придерживается смешанной стратегии. Пусть известно, что вероятность лоббирования второй фирмой равна р. Соответственно вероятность не лоббирования равна для нее (1 – р). Тогда доход первой фирмы при принятии решения о лоббировании составит в среднем -5р + 15(1 - р) =15+20р, а при не лоббировании – 0 +10(1-р) = 10 - 10р. Эти расчеты выполняются сначала по первой, а потом по второй строке матрицы для первой фирмы. Если приравнять полученные доходы, получим р = 0,5. Поэтому при р>0,5 первой фирме в среднем выгоднее не лоббировать. Таким образом принимают решения при наличии неполной, вероятностной информации.

2. Показательной является еще одна модель из области взаимодействия партнеров. Это задача о сотрудничестве двух лиц, работающих вместе. Их совместный доход определяется вкладом каждого из них по формуле:

f(е₁, е₂) = а₁е₁ + а₂е₂.

Здесь а₁ и а₂ – численные коэффициенты, а е₁ и е₂ – вклад каждого партнера в общее дело. Этот доход делится между ними таким образом, что первый получает долю x<1, а второй – долю (1-х). При этом считается, что себестоимость затрат каждого партнера оценивается как е_i². Тогда чистый доход первого партнера равен:

U₁ = t f(е₁, е₂) - е₁².

Так вот спрашивается – до какой степени этому партнеру выгодно увеличивать свой вклад. В принципе, можно моделировать эту ситуацию парной игрой, в которой стратегиями игроков являются разные значения их вкладов. Получится большая числовая матрица, которую потом надо исследовать. Но можно применить более эффективный в данном случае метод анализа, который, строго говоря, не имеет отношения к классической теории игр. А именно – использовать тот факт, что нам известна сама функция выигрыша, к которой можно применить обычный математический анализ, то есть исследовать зависимость функции U₁ от переменной е₁. Из приведенного выше выражения видно, что это квадратичная зависимость, графиком которой является обращенная вниз парабола. Поэтому максимум функции приходится на значение е₁, соответствующее вершине параболы (см.рис.). А значит для нахождения оптимального значения достаточно приравнять нулю производную ∂ U₁/∂ е₁. Отсюда получаем:

t а₁ - 2е₁ = 0

Следовательно оптимальный вклад первого партнера в совместное дело составляет t а₁/2. Получается, что он не зависит от вклада второго партнера, зато зависит от причитающейся по контракту доли общего дохода.

Аналогичным образом решаются задачи, в которых f(е₁, е₂) такова, что производная ∂ U₁/∂ е₁ зависит от вклада второго партнера е₂. Возьмем, например:

f(е₁, е₂) = а₁е₁ + а₂е₂ + 2е₁е₂.

В этом случае из условия равенства нулю производной ∂ U₁/∂ е₁. получим соотношение:

t(а₁ +2 е₂) - 2е₁ = 0.

После этого можно уже в терминах теории игр говорить, что полученное выражение определяет оптимальный ответ (BR) первого партнера (значения е₁) на известный вклад второго партнера е₂. При t = 0/5 получим е₁ = (а₁ +2е₂)/4, то есть наилучший вклад первого партнера растет пропорционально увеличению вклада второго партнера. В общем случае вил функций U₁(е₁, е₂) и f(е₁, е₂) определяется спецификой задачи.

3. Рассмотрим еще один пример сотрудничества двух сторон, на этот раз сотрудничества, так сказать, поневоле. Это модель дуополии.из области экономики, известная как модель Курно. Две независимые фирмы производят одну и ту же продукцию в объемах q₁ и q₂ и реализуют ее на одном рынке. Цена на эту продукцию в соответствии с законами экономики зависит от предложения товара и поэтому с увеличением объемов q₁ и q₂ уменьшается::

Р = 1000 - q₁ - q₂

Издержки производства составляют 100q₁ и 100q₂ соответственно. Результирующий доход первой фирмы через устанавливающуюся цену зависит от объема производства второй фирмы:

U₁ = (1000 - q₁ - q₂) q₁ - 100 q₁.

Опять получили модель взаимодействия двух сторон, в которой каждая сторона независимо выбирает свою стратегию – объем производства q_i. И в этом случае тоже удобнее провести анализ функции выигрыша для определения оптимального ответа на известную стратегию второй стороны, а не выписывать матрицу игры. Если раскрыть скобки в выражении для U₁, опять получим квадратичную функцию на этот раз от q₁. Она имеет того же типа график, что мы рассматривали применительно к предыдущей модели, только теперь по оси абцисс откладывается q₁ Остается найти точку максимума из условия равенства нулю производной:

-2q₁ + (1000 - q₂ - 100) = 0

Отсюда оптимальное значение q₁ = 450 - q₂/2. Причем ясно, что задача симметрична относительно партнеров., поэтому в устойчивом состоянии (как тут не вспомнить равновесие по Нэшу) оптимальный ответ у обеих фирм будет одинаков. В этой связи равновесное состояние определяется уравнением типа BR(q₂) = q₂, которое в данном случае имеет вид:

450 - q₂/2 = q₂.

Его решение дает рекомендуемые устойчивые объемы производства q₁ = q₂ = 300.

Таким образом, даже независимые «игроки» в условиях рынка на самом деле оказываются тесно связанными и имеют весьма ограниченную степень свободы. К аналогичному выводу можно придти, рассматривая дуополию Бертрана, при которой каждая из двух фирм независимо устанавливает цену на свою продукцию и доход обеих сторон зависит от соотношения этих цен.

Можно привести пример аналогичных моделей и из области международных отношений. Рассмотрим, как меняется доход государства при изменении таможенной политики двух стран. Пусть первая страна установила таможенную пошлину в размере x %, а вторая - y %. Доход первой страны от таможенных сборов с учетом уменьшения товарообмена при слишком высокой ставке таможенного налога можно выразить функцией выигрыша вида:

U₁ (млрд.долл.) = 2000 + 60x + xy – x² – 80y

Как и в случае с дуополией получили квадратичную функцию, определение максимума которой позволяет вычислить оптимальный ответ на повышение (понижение) таможенной пошлины второй страной. В качестве аргумента, по которому осуществляется максимизация функции U₁ (х), здесь рассматривается таможенный тариф первой страны.

Существуют также модели конкуренции, в которых взаимодействующие стороны представлены несимметрично. Это выражается в разных функциях выигрыша сторон. Классическим примером является модель «преступление и наказание», которая описывает взаимосвязь уровня законности в стране x и уровня преступности y. Функция выигрыша государства при этом описывается соотношением:

U₁ (x,y) = – c⁴ x – y²/x,

где с – затраты государства по усилению правопорядка в стране. Для преступного же мира функция выигрыша существенно иная:

U₂ (x,y) = √y/(1 +xy)

В частности знаменатель здесь соответствует раскрываемости преступлений. Такого рода модели нужны для планирования государственных расходов в бюджете.

Вопросы:

1. Построение платежной матрицы в играх на размещение (location games) на примере выбора спектра товаров двумя торговцами.

2. Выбор оптимальной стратегии в модели конкуренции двух фирм («диполь Курно»).

3. Выбор оптимальной стратегии в модели конкуренции двух фирм («диполь Бертрана»).

4. Модель «тарифных войн»

5. Определение наилучшей ответной стратегии при известном выборе партнера.

6. Модель баланса уровня законности и уровня преступности («Crime and police»).

Литература:

Учебные пособия и монографии:

1. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.: Наука, 1985. – 272 с.

2. Данилов В. Лекции по теории игр: Конспект лекций. - М.: Российская экономическая школа, 2002. – 140 с.

3. Льюис Р.Д., Райфа Х. Игры и решения: Пер. с англ. – М.: Издательство иностранной литературы, 1961. – 642 с.

4. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики: Пер. с франц. – М.: Мир, 1985. – 200 с.

5. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение: Пер. с англ. – М.: Наука, 1970. – 708 c.

6. Олейнов А.Г. Введение в экономический анализ политических процессов: Учебное пособие. – М.: Издательство ЛКИ, 2008. – 144 с.

7. Печерский С.Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов: Вводный курс: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во европейского университета в Санкт-Петербурге, 2001. – 253 с.

8. Сернова Н.В., Гордуновский В.М., Котова Е.С. Количественные методы принятия решений в бизнесе. – М.: Анкил, 1997. – 321 с.

9. Shapley L.S., Shubik M. Game Theory in Economics (Chapters 1-4, 6). Rand Corporation, 1971-1974.

10. Watson J. Strategy. An Introduction to Game Theory. W.W.Norton & Company, 2002.

[1] Предлагаемая к прочтению литература содержится преимущественно в предлагаемом студентам электронном ридере.

Дата добавления: 2015-11-16