Конечное число выборок. Явление Гиббса

Практически часто оценку спектра приходится проводить по конечному числу выборок

Это есть усечённая сумма членов разложения функции в ряд Фурье. Ограничение числа членов эквивалентно умножению последовательности на прямоугольное окно

ДВПФ этого временного окна

при больших N ведёт себя как функция имеющая пульсирующий характер из-за наличия боковых лепестков.

Произведению двух временных последовательностей соответствует свертка их фурье-образов, поэтому оценка спектра будет

Когда и В точках, где кривизна мала, ошибка может быть сделана как угодно малой при увеличении N. Однако, когда имеет разрыв, например, в точке , ошибка не устраняется при увеличении N (явление Гиббса). Увеличение N путем увеличения частоты выборок делает явление Гиббса более резко выраженным (рис. 3.1.2). Если при функция резко спадает к нулю, то частота дискретизации должна быть равной с тем, чтобы устранить разрыв в крайней точке.

Рис. 3.1.2. Явление Гиббса

Для заданного N функция представляет собой наилучшую аппроксимацию по критерию среднего квадрата. Ошибка вблизи точек разрыва может быть снижена применением оконных функций, отличных от прямоугольной. Рассмотрим, например, треугольное окно

которое получается свёрткой двух прямоугольных окон длительностью в N отсчётов. ДВПФ треугольного окна

имеет уже меньший уровень боковых лепестков, благодаря чему оценка спектра

в точках разрыва будет более сглаженной, и явление Гиббса ослабляется. Как и в случае прямоугольного окна, когда а в точках с малой кривизной.

Дата добавления: 2015-11-16