Ошибка округления в цифровых фильтрах.

Основные операции, выполняемые ЦФ, связаны с вычислением суммы произведений вида:

Рассмотрим цифровой фильтр, описываемый соотношением вход-выход:

его передаточная функция:

Исследуем ошибку округления, предполагая, что входные выборки x_n изменяются в пределах +1, а квантование и кодирование осуществляется словами длиной В бит, включая знаковый бит, и что каждый коэффициент фильтра представляется словом длиной В бит. Предположим также, что фильтр вычисляет выходные выборки y_n согласно (1) точно, т.е. он содержит необходимый умножитель и сумматор.

Величина a_ix_n-i, являющаяся произведением В-битного слова на В’-битное слово, имеет В+В’ бит. Для того, чтобы поместить ее в В-битный регистр данного, произведение должно быть укорочено.

Основные два способа выполнения этой процедуры: усечение и округление. При усечении сохраняются старшие В бит, при округлении вначале к В-ому биту прибавляем 1, если В+1 бит равен 1, а затем результат усекается до В бит. Ясно, что округление является более точным, но более сложным аппаратурно и требует больше времени.

Рассмотрим случай округления.

Процесс округления (В+В’)-битного произведения до В бит подобен квантованию, которое рассматривалось ранее. Округление приводит к ошибке, которая ограничивается по абсолютной величине значением 2^-B. Ошибка округления может также рассматриваться как шум с нулевым средним и среднеквадратичной величиной:

При вычислении y_n по выражению (1) формируется (M+L+1) произведений и каждое вносит такую ошибку квантования при условии, что коэффициент a_k и b_k отличны от 0 и 1. Т.к. в этом случае ошибка округления не вносится.

Нетрудно видеть, что если при сложении (вычитании) в (1) не происходит переключения В-битного регистра данного, то ошибка не вносится. Этого можно достигнуть путем правильного масштабирования входного сигнала x_n.

В этих условиях суммарная ошибка, вносимая при вычислении y_n, определяется (M+L+1) ошибками квантования вследствие операции умножения. Обозначим реальный выходной сигнал y_n’. Тогда с учетом изложенного имеем:

где d_n - сумма (M+L+1) ошибок квантования, каждая из которых имеет нулевое среднее и среднеквадратичную величину, равную 2^-2B/3. Так как ошибки независимы и представляют собой белый шум, то {d_n} - также белый шум со средним и дисперсией .

Определим разность между реальным y’ и идеальными y_n выходными сигналами как ошибку выходного сигнала e_n т.е.

или

Это уравнение описывает линейную систему со входом{d_n} и выходом {e_n} и передаточной функцией:

где D(z) знаменатель передаточной функции исходного ЦФ.

Так как входным сигналом такой системы является белый шум, то выходная ошибка будет определяться соотношением:

(2)

где

Таким образом, вследствие округления выходной сигнал ЦФ включает аддитивную ошибку, которая имеет нулевое среднее и дисперсию определяем выражением (2).

Для нерекурсивных фильтров b_i=0, поэтому ошибка округления на выходе такого фильтра имеет нулевое среднее и дисперсию

Структурная схема ЦФ с учетом ошибки округления имеет вид:

Ранее рассматривались формы реализации ЦФ высокого порядка: прямую, параллельную и каскадную. Рассмотрим влияние ошибок округления на эти фильтры.

Дата добавления: 2015-11-14