Проведена касательная к окружности, пересекающая

боковые стороны в точках D и Е. Найдите радиус

окружности, если DE = 8, АС = 18.

В Дано:

АВС – равнобедренный,

D E DEАС,DE = 8, АС = 18,

Найти: r

А С

Решение:

Способ первый.

1) АDЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности. По

свойству описанного четырехугольника DЕ + АС = АD + ЕС, причем

АD = ЕС. Получим: 8+18=2 АD, отсюда АD = ЕС = 13.

2) Пусть х = DВ = ВЕ, тогда АВ=ВС = х+ 13. DBE подобен ABC по

второму признаку подобия ( В – общий, ). Тогда их площади

относятся как произведения сторон, заключающих равные углы, и это

отношение равно квадрату коэффициента подобия:

, , ,

:4

, , ,

- не удовлетворяет условию задачи, поэтому ВЕ = ВD= 10,4.

Итак, ВЕ = ВD= 10,4, АВ=ВС= 23,4.

3) , . С одной стороны,

. С

другой стороны, или , тогда ,

откуда r = 6.

Ответ: r = 6.

-20-

Способ второй.

В

D E

А С

K

Решение:

1) АDЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности (т.к.

DЕ АС и DЕ, АС, АD и ЕС – касательные к окружности). По

свойству описанного четырехугольника DЕ + АС = АD + ЕС, причем

АD = ЕС. Получим: 8+18=2 АD, отсюда АD = ЕС = 13.

2) Выполним дополнительное построение: проведем ЕК АD, тогда

АDЕК – параллелограмм, значит АD = ЕК = 13, DЕ = АК (по свойству

параллелограмма), тогда КС = АС – АК= 18 – 8 = 10.

3) , , .

С одной стороны, ,

с другой стороны, или . Тогда ,

откуда h =12.

4) Так как высоты трапеции АDЕС и треугольника КЕС совпадают, то

h = 2 r, r = 6.

Ответ: r = 6.

-21-

Способ третий.

В

D E

Q S

А С

K H

Решение:

2) АДЕС – равнобедренная трапеция, описанная около окружности (т.к. ДЕ АС и ДЕ, АС, АД и ЕС – касательные к окружности). По

свойству описанного четырехугольника ДЕ + АС = АД + ЕС, причем

АД = ЕС. Получим: 8+18=2 АД, отсюда АД = ЕС = 13.

3) Выполним дополнительное построение: проведем высоту ВН иотрезок DK,DK АС.

4) Так как АВС – равнобедренный, ВН – высота, то ВН и медиана. Тогда АН = НС = 9.

5) АН = АQ = 9 и НС = ЕС = 9, DQ = DL = 4 и LE = ES = 4

(DQ = AD – AQ = 13 – 9), как отрезки касательных, проведенных из

одной точки к окружности, где Q и S – точки касания АВ и ВС с

окружностью.

6) DL = KH = 4, DK = LH как противоположные стороны прямоугольника KDLH.

7) Рассмотрим ADK. АК = АН – КН = 9 – 4 = 5, АD = 13. По следствию из теоремы Пифагора , , отсюда

DK= LH = 12, причем LH= 2 r, тогда r = 6.

Ответ: r = 6.

-22-

Задача 9. В равнобедренный треугольник АВС с основанием

АС вписана окружность с центром О. Луч СО

пересекает сторону АВ в точке К, причем АК = 6,

ВК = 12. Найдите периметр треугольника.

Способ первый.

В

Дано:

АВС, АВ = ВС

АК = 6, ВК = 12, СО АВ = К

К Найти:

А С

Решение:

1) Так как окружность вписана, и О КС (О – центр вписанной

окружности), то КС – биссектриса угла С. По свойству биссектрисы

(биссектриса делит сторону треугольника на части, пропорциональные

прилежащим сторонам) , или

(АВ = ВС = АК + КВ = 6+12 = 18), отсюда АС = 9.

2) = АВ + ВС + АС, = 18 + 18 + 9 = 45.

Ответ: = 45.

Способ второй.

Решение:

Так как СК – биссектриса угла С, то по теореме об отношении площадей треугольников С другой стороны, это отношение равно (как отношение площадей треугольников, имеющих одинаковую высоту, опущенную из вершины угла С).

Итак, , откуда АС = 9 и = 45.

Ответ: = 45.

-23-

Задача 10. Около треугольника АВС описана окружность.

Медиана треугольника АМ продлена до пересечения

с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если

АМ =18, МК =8, ВК =10.

Дано:

В АВС, АМ – медиана,

К АМ =18, МК = 8, ВК = 10

Найти: АС

А С

Решение:

Способ первый.

1) Рассмотрим ВМК и АМС. ВМК = АМС, как вертикальные,

КВС = КАС, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу КС.

Тогда ВМК и АМС подобны по первому признаку подобия.

2) Из подобия треугольников следует, что или , но

ВМ = МС по условию, тогда , -

не удовлетворяет условию задачи, поэтому МС = 12. Тогда ,

отсюда АС = 15.

Ответ: АС = 15.

-24-

Способ второй.

Решение:

1) По теореме о пересекающихся хордах , ,

но ВМ = МС по условию (АМ – медиана), тогда , отсюда

ВМ = МС= 12.

2) Рассмотрим ВМК и АМС. ВМК = АМС, как вертикальные,

ВМ = МС по условию. КВС = КАС, как вписанные углы,

опирающиеся на одну дугу КС. Тогда, ВМК и АМС подобны по

первому признаку подобия.

3) Из подобия треугольников следует, что , , отсюда

АС = 15.

Ответ: АС = 15.

-25-

Задача 11. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около

треугольника ABD, пересекает большую диагональ

ромба АС в точке Е. Найдите СЕ, если АВ = ,

BD = 16.

А Дано:

ABCD – ромб,

АВ = , BD = 16

Найти: СЕ

D В

С

Решение:

Способ первый.

1) По свойству ромба диагонали в точке пересечения делятся пополам,

поэтому ВО = ОD = 8.

2) Рассмотрим АОВ. АОВ – прямоугольный, поэтому по следствию из теоремы Пифагора или ,

отсюда АО = ОС =16, АС = АО + ОС = 32.

3) С одной стороны, или , с другой стороны , где R – радиус описанной окружности, . Тогда , отсюда R = 10.

4) АЕ – диаметр окружности, АЕ = 2 R = 20, АС = АО + ОС = 32, тогда

СЕ = АС – АЕ = 32 – 20 = 12.

Ответ: СЕ = 12.

-26-

Способ второй.

Решение:

1) Рассмотрим АDB. АDB – равнобедренный (AD = AB, как стороны ромба), АО – высота (поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны), а, значит, и медиана и биссектриса (по теореме о высоте равнобедренного треугольника). По формуле нахождения медианы треугольника , , откуда АО = 16.

2) С одной стороны, или , с другой стороны , где R – радиус описанной окружности, . Тогда , отсюда R = 10.

3) АЕ – диаметр окружности, АЕ = 2 R = 20, АС = АО + ОС = 32, тогда

СЕ = АС – АЕ = 32 – 20 = 12.

Ответ: СЕ = 12.

Способ третий.

Решение:

5) 1) По свойству ромба диагонали в точке пересечения делятся пополам,

поэтому ВО = ОD = 8.

6) Рассмотрим АОВ. АОВ – прямоугольный, поэтому по следствию из теоремы Пифагора или ,

отсюда АО = ОС =16, АС = АО + ОС = 32.

3) По теореме о пересекающихся хордах , отсюда

. Тогда СЕ = СО – ОЕ = 16 – 4 = 12.

Ответ: СЕ = 12.

-27-

Задача 12. В окружность радиуса вписан треугольник АВС,

в котором , а сторона АВ в два раза больше

стороны АС. В треугольнике проведена

биссектриса АМ. Найти длину отрезка МС.

С Дано:

АВС, R = , ,

АВ = 2 АС, АМ – биссектриса

Найти: МС

А

В

Решение:

Способ первый.

1) Поскольку АМ – биссектриса АВС, то по свойству биссектрисы угла

или или , отсюда ВМ = 2 МС, тогда ВС = 3 МС

или МС = ВС.

2) По следствию из теоремы синусов , отсюда .

Тогда МС = = 4.

Ответ: МС = 4.

-28-

Решение:

Способ второй.

1) Докажем, что АВС – прямоугольный. По теореме косинусов

. Предположим

справедливость равенства: , ,

- верное равенство, следовательно,

и АВС – прямоугольный.

2) Так как АВС – прямоугольный, АВ – гипотенуза, то АВ = 2 R =

(поскольку центр описанной окружности лежит на середине

гипотенузы, т.е. АВ – диаметр). по условию, тогда

АС = . По следствию из теоремы Пифагора ,

, тогда ВС = 12.

3) Поскольку АМ – биссектриса, то по свойству биссектрисы угла

, где ВМ = СВ – СМ = 12 - СМ. , отсюда

, , СМ = 4.

Ответ: СМ = 4.

-29-

Задача 13. В треугольнике ВСЕ , СЕ: ВС = 3: 1. Отрезок

СК – биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если

---

Дата добавления: 2015-11-14