1) Параллелограмм.
В а С
h 
площадь
b 
параллелограмма АВСD
А D
В С
A D 
где 
и 
-диагонали параллелограмма АВСD 2) Ромб.
В 
, где и - диагонали ромба АВСD
А С
, где а – сторона ромба
D
3) Трапеция.
B b C 
, где 
- средняя линия трапеции
A а D
4) Свойства описанного четырехугольника.
b В любом описанном четырехугольнике суммы противо -
положных сторон равны:
a c с 
d
5) Свойства вписанного четырехугольника.
В любом вписанном четырехугольнике сумма
противоположных углов равна 
:
 |
6) Площадь любого четырехугольника, у которого диагонали
перпендикулярны, выражается формулой:
В
А С , где и - диагонали
D четырехугольника АВСD.
-7-
7) Правильные многоугольники.
 |
- сторона правильного многоугольника,
где R – радиус описанной окружности;
- сторона правильного многоугольника, где – r радиус
вписанной окружности;
III. Окружность.
1)
В
АВС – вписанный, АВС= 
АС;
С ADC – центральный, ADC = 
АС.
А
2)
C
D Углы, опирающиеся на диаметр прямые.
B
A АВ – диаметр, АСВ = ADB = 
3)
D
A B 
4) Теорема об отрезках пересекающихся хорд.
С
А
 |
B
D
-8-
5)
l
l – касательная, r – радиус
l 
r и наоборот.
6) В
А
АВ = ВС, АВ и ВС - касательные
С
7) В
А
С
, где АВ - касательная
L
8) С
В
А ВС – касательная, СВА = ВА
9)
A B CFD= 
C
D
10) D
A B
D = 
C K
-9-
Решение задач по планиметрии. Практикум.
Задача 1. В окружность радиуса 
вписан правильный
треугольник АВС. Хорда BD пересекает сторону AC в
точке Е, АЕ: ЕС =3: 5. Найдите ВЕ.
В Дано:
АВС – равносторонний,
BD 
АС = Е, АЕ: ЕС =3: 5
R =
Найти: ВЕ
А С
D
Решение:
Способ первый.
1) Так как АВС равносторонний, то все его углы равны по 
, т. е.
, и все стороны равны, т.е. АВ = ВС = АС = 
(сторона правильного многоугольника вычисляется по формуле:
Следовательно, АВ = ВС = АС = 
.
2) Поскольку АЕ: ЕС =3: 5, то АЕ =3х, ЕС =5х. Так как АС =8,
АС = АЕ + ЕС =8х, то 8 = 8х, откуда х = 1, значит АЕ =3, ЕС =5.
3) Рассмотрим ЕВС. По теореме косинусов найдем искомую сторону ВЕ.
, отсюда
ВЕ =7.
Ответ: ВЕ =7.
-10-
Способ второй.
Решение:
1) Так как АВС равносторонний, то все его углы равны по 
, т. е.
, и все стороны равны, т.е. АВ = ВС = АС = =8.
2) Поскольку АЕ: ЕС =3: 5, то АЕ =3х, ЕС =5х. Так как АС = 8,
АС = АЕ + ЕС =8х, то 8 = 8х, откуда х = 1, значит АЕ = 3, ЕС = 5.
3) В АВС приведем высоту ВН, причем ВН будет являться высотой и
медианой, т.к. АВС – равносторонний, т.е. АН = НС = 4 (АС = 2 НС =8,
отсюда НС =4). Рассмотрим ВНС. ВНС – прямоугольный, поэтому по
теореме Пифагора
4) Рассмотрим ВНЕ. ВНЕ – прямоугольный, ВН = 
,
ЕН = ЕС – НС = 5 – 4 = 1. Тогда по теореме Пифагора
Ответ: ВЕ = 7.
-11-
Задача 2. Около равнобедренного треугольника с основанием
АС и углом при основании 
описана окружность с
центром О. Найдите её радиус, если площадь
треугольника ВОС равна 16.
В Дано:
АВС – равнобедренный,
А = , 
16,
ВО = ОС = R
Найти: R
 |
А С
Решение:
1) Так как А – вписанный и по условию равен , то дуга ВС, на которую он опирается, равна 
(по определению вписанного угла).
На эту же дугу ВС опирается центральный угол ВОС, тогда
ВОС = .
2) Рассмотрим ВОС. ВОС – равнобедренный (ВО = ОС как радиусы
одной окружности), ВОС = , тогда 
,
. По условию
, тогда 16 = 
, отсюда 
, R = 
8, но R = -8 не
удовлетворяет условию задачи, поэтому R = 8.
Ответ: R = 8.
-12-
Задача 3. Из точки А, лежащей на окружности, проведены две
Дата добавления: 2015-11-14; просмотров: 143 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| I. Треугольники | | | Если расстояние между серединами хорд равно 10. |