Делится точкой пересечения с окружностью в

отношении1: 2, считая от вершины Р. Найдите

периметр треугольника РМК.

Р Дано:

РМК – равнобедренный,

r = , РЕ: ЕН = 1: 2

А В РН - высота

Найти:

М Н К

Решение:

Способ первый.

1) ЕО = ОН = ОВ = ОА= как радиусы одной окружности, причем

ОВ и ОА – радиусы, проведенные в точки касания отрезков МР и РК с

окружностью.

2) ЕН = ЕО + ОН = , по условию, откуда 2 РЕ = ЕН, РЕ =

3) РВО = РАО по катету и гипотенузе (РО – общая гипотенуза, АО = ОВ),

тогда и РА = РВ. По теореме Пифагора ,

, тогда РВ = РА = 6.

4) Пусть РК = РМ = х, тогда ВК = АМ = х – 6. Но ВК = НК, АМ = МН, как

отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности.

РНК: по теореме Пифагора , или ,

, , откуда х =12. Тогда РК = РМ= 12,

МК = МН + НК = 2 НК (так как РМК – равнобедренный, РН – высота и

медиана), или МК = 2 х – 12 = 12.

5) ,

.

Ответ: .

-16-

Способ второй.

Решение:

1) ЕО = ОН = ОВ = ОА= как радиусы одной окружности, причем

ОВ и ОА – радиусы, проведенные в точки касания МР и РК с окружностью.

2) ЕН = ЕО + ОН = , по условию, откуда 2 РЕ = ЕН, РЕ = ,

тогда РО = РЕ + ЕО = + = , РН = РО + ЕН = + = .

3) РВО = РАО по катету и гипотенузе (РО – общая гипотенуза, АО = ОВ),

тогда и РА = РВ и ОРВ = ОРА. РВО: , значит,

ОРВ = ОРА = .

4) РНК: , НРК = ОРВ = , , значит,

, откуда РК = РМ = 12.

5) РКМ = РМК = (из РНК: ), как углы при

основании равнобедренного треугольника. Тогда МРК = (из РМК:

), следовательно, РНК – равносторонний и МК =12.

6) , .

Ответ: .

-17-

Задача 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен

---

Дата добавления: 2015-11-14