I. Треугольники

Учебное пособие

«Решение задач

планиметрии. Практикум».

Автор: Евграфова Юлия Николаевна

г. Комсомольск – на – Амуре,

ул. Московская 22-25, тел. 25-68-22

ученица 10 А класса МОУ Лицей № 1

Адрес учреждения: г. Комсомольск – на – Амуре,

ул. Пирогова, 21, тел. 59-82-60

Научный руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна

г. Комсомольск – на – Амуре,

ул. Вокзальная 72-71, тел. 59-95-03

преподаватель математики

2008 г.

-1-

Тезисы к работе

«Решение задач планиметрии. Практикум».

Многие мои сверстники не любят и боятся задач по планиметрии, а между тем они очень разнообразны, интересны и многие даже красивы. Надо только знать хорошо весь теоретический материал и владеть некоторыми приемами в подходах к решению такими, как выражение площади фигуры различными способами, выполнение дополнительных построений, использование тригонометрических функций, алгебраического аппарата и так далее.

Наиболее интересными, на мой взгляд, задачами являются такие, которые допускают многообразие способов их решения. И в этом плане мне понравились задачи, помещенные в сборнике Министерства образования «Единый государственный экзамен» 2003 – 2004 гг. Я создала к этой главе сборника своеобразный решебник, представив к большинству задач по 2-3 способа их решения и думаю, что мое пособие будет интересным и полезным в работе не только ученикам, но и учителям, осуществляющим подготовку их к экзаменам. Надеюсь, что вы со мною согласитесь.

-2-

Основные факты планиметрии.

I. Треугольники

1) Теорема синусов.

В треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих

углов.

В

а b

А c С

2) Теорема косинусов.

В треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других

сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между

ними.

В

а b

А с С

Примечание. Если CosA 0, то А – острый, если CosА = 0, то

А – прямой, если CosA 0, то А – тупой.

3) Теорема о биссектрисе угла в треугольнике.

Биссектриса угла треугольника делит его сторону на части,

пропорциональные прилежащим сторонам.

В

D

А С

4) Вычисление биссектрисы угла.

В

А С

-3-

5) Вычисление координаты точки отрезка.

С В

А

, где или , где

6) Теорема о медианах.

В треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся в

отношении 2:1, считая от вершины.

В

А С

7) Вычисление длины медианы треугольника

С

с а

А b В

8) Теорема о высоте прямоугольного треугольника.

С

b a , где = DB – проекция катета а

на гипотенузу с, = АD – проекция

А c В катета b на гипотенузу с.

D ,

9) Теорема о центре вписанной окружности.

В

Центр вписанной окружности лежит на

пересечении биссектрис треугольника.

А С

-4-

10) Теорема о центре описанной окружности.

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных

Перпендикуляров к сторонам треугольника.

· Центр описанной окружности в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника;

· Центр описанной окружности в тупоугольном треугольнике лежит вне треугольника;

· Центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике лежит на середине гипотенузы.

11) Тригонометрические функции в прямоугольном

треугольнике.

А , , ,

bс

С В

а

12) Площадь треугольника.

а) ;

б) ;

в) , где ;

г) , где R – радиус описанной окружности;

д) ;

е) , где r радиус вписанной окружности, Р – периметр

треугольника;

ж) - площадь равностороннего треугольника;

-5-

13) Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол.

В

А С

Площади относятся как произведение сторон, заключающих равные углы, то есть если , то .

14) Теорема об отношении площадей подобных треугольников.

В

А С

, где К – коэффициент подобия.

Примечание:

14) Теорема Чевы.

Если три чевианы пересеклись в одной точке, то

В

, , - чевианы.

А С

-6-

Дата добавления: 2015-11-14