Наближене інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів.

За допомогою розкладу функцій у степеневі ряди можна приблизно інтегрувати диференціальні рівняння. Нехай потрібно знайти рішення диференціального рівняння другого порядку

, (6.3)

задовольняючого початковим умовам , .

Розв’язання рівняння знаходимо у вигляді ряду Тейлора:

Потрібно знайти , , , …...Це можна зробити за допомогою початкових умов і рівняння (6.3). З початкових умов витікає, що , .

З рівняння (6.3) одержуємо:

Продиферецюємо (6.3) за правилом диференціювання складної функції декількох змінних. Одержимо:

(6.4)

Підставимо в (6.4) початкові умови та одержимо . Диференціюючи (6.4) і підставляючи початкові умови, одержимо . Процес цей або обривається на заданому коефіцієнті, або завершується знаходженням загального закону побудови коефіцієнтів у розкладі. Для тих значень , для яких цей ряд збігається, він представляє рішення рівняння.

Приклад5. Знайти три члени розкладу в ряд Маклорена функції, що є рішенням рівняння

, (6.5)

який задовольняє початковим умовам: , .

Розв’язання.

Тому що початкові умови задані в точці =0, то рішення будемо шукати у вигляді ряду Маклорена:

Використовуючи початкові умови, з рівняння (6.5) знайдемо

Продиференцюємо (6.5) і підставимо початкові умови.

,

,

Підставляючи значення похідних у ряд Маклорена, одержимо декілька перших членів розкладу функції , що є частковим рішенням рівняння (6.5)

Приклад6. Знайти три члени розкладу в ряд Маклорена функції, яка є розв’язком рівняння

, (6.6)

який задовольняє початковим умовам:

Розв’язання.

Тому що початкові умови задані в точці =0, то рішення будемо шукати у вигляді ряду Маклорена:

Використовуючи початкові умови, з рівняння (6.6) знайдемо

Продиференцюємо (6.6) і підставимо початкові умови.

Тоді рішення має вигляд

РЯДИ ФУР'Є

7.1. Ряди Фур'є функцій періоду 2π

Нехай функція є періодичною з періодом 2π і інтегрованою на відрізку [-π;π]. Рядом Фур'є функції називається тригонометричний ряд

, (7.1)

коефіцієнти якого визначаються за формулами

, , (7.2)

При цьому пишуть так (~ знак відповідності):

~ ,

тому що ряд Фур'є функції не завжди має своєю сумою цю функцію, якщо навіть збігається.

Справедлива наступна теорема (Дирихле).

Теорема 7.1. Якщо періодична функція з періодом 2π кусочно-монотонна й обмежена на відрізку [-π;π], то ряд Фур'є, побудований для цієї функції, збігається у всіх точках.

Сума отриманого ряду дорівнює значенню функції в точках безперервності цієї функції. У точках розриву функції сума ряду дорівнює середньому арифметичному границь функції праворуч і ліворуч (тобто, якщо х=с – точка розриву функції , то .

Приклад1. Розкласти в ряд Фур'є функцію періоду 2π, означену рівністю:

Розв’язання.

Графік цієї функції представлений на рисунку 7.1.

Рисунок 7.1.

Обчислимо коефіцієнти Фур'є цієї функції.

Тобто, , (k=1, 2, 3,…...)

Ряд Фур'є цієї функції має вигляд:

~ . (7.3)

За теоремою Дирихле ряд (7.3) збігається при всіх . Сума ряду в точках безперервності функції дорівнює цієї функції. У точках .

Дата добавления: 2015-11-14