І умовна збіжність

Визначення 1. Знакозмінним рядом називається ряд, членами якого є числа довільного знака.

Нехай

(3.1)

деякий знакозмінний ряд.

Розглянемо ряд

, (3.2)

членами якого є абсолютні величини членів знакозмінного ряду (3.1). Ряд (3.2) є рядом із позитивними членами й до нього можна застосовувати ознаки, викладені вище.

Теорема 3.1. (Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду) Якщо знакозмінний ряд (3.1) такий, що ряд (3.2) збігається, то й даний знакозмінний ряд також збігається. Ця ознака дає можливість судити про збіжність тільки деяких знакозмінних рядів. Вона є достатньою, але не необхідною: існують знакозмінні ряди, які самі збігаються, але ряди, складені з абсолютних величин їхніх членів, розбігаються. У зв'язку із цим вводиться поняття абсолютної й умовної збіжності знакозмінного ряду.

Визначення 2. Знакозмінний ряд (3.1) називається абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд (3.2).

Визначення 3. Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо він сходиться, але не сходиться ряд з абсолютних величин.

Приклад1.

Ряд (3.3)

є знакозмінним. Складемо ряд з абсолютних величин цього ряду

(3.4)

Члени ряду (3.4) не перевершують відповідних членів збіжного ряду

,

тому ряд (3.4) збігається. Це означає, що ряд (3.3) абсолютно збігається.

Приклад2.

Розглянемо ряд (3.5)

Модулі членів цього ряду становлять гармонійний ряд

який розходиться. Отже, ряд (3.5) не є абсолютно збіжним. Однак, безпосереднім обчисленням суми цього ряду можна переконатися, що ряд (3.5) все одно збігається, тобто цей ряд - умовно збіжний.

Дата добавления: 2015-11-14